Ableitungsregeln
Die Ableitung von f(x) = x⁵ ist f'(x) = ___.
Erklärung: Potenzregel: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹. Also (x⁵)' = 5x⁴.
f(x) = 3x⁴ − 2x³ + x − 7. Berechne f'(1).
Erklärung: f'(x) = 12x³ − 6x² + 1. f'(1) = 12 − 6 + 1 = 7.
Wie lautet die Ableitung von f(x) = 4x³ + 2x?
Erklärung: Summenregel und Faktorregel: (4x³)' = 4·3x² = 12x²; (2x)' = 2. Also f'(x) = 12x² + 2.
Für die Funktion f(x) = 8 gilt f'(3) = 0.
Erklärung: Richtig. f(x) = 8 ist konstant — ihr Graph ist eine waagerechte Gerade, die Steigung ist überall 0, auch an der Stelle x = 3.
f(x) = 7x² − 3x + 5. Dann ist f'(x) = ___.
Erklärung: (7x²)' = 14x; (−3x)' = −3; (5)' = 0. Also f'(x) = 14x − 3.
f(x) = x⁶ − 2x⁴ + x². Berechne f'(−1).
Erklärung: f'(x) = 6x⁵ − 8x³ + 2x. f'(−1) = 6·(−1)⁵ − 8·(−1)³ + 2·(−1) = −6 + 8 − 2 = 0.
Wie lautet die Ableitung von f(x) = 5x⁴?
Erklärung: Faktorregel: Der konstante Faktor 5 bleibt beim Ableiten erhalten: (5x⁴)' = 5·4x³ = 20x³. Bei 4x³ ist der Faktor fälschlich weggefallen, bei 20x⁴ wurde der Exponent nicht verringert.
f(x) = −½x⁴ + 3x. Dann ist f'(x) = ___.
Erklärung: (−½x⁴)' = −½·4x³ = −2x³; (3x)' = 3. Also f'(x) = −2x³ + 3.
Für f(x) = x³ + 8x gilt f'(x) = 3x² + 8.
Erklärung: Richtig. Summenregel: Jeder Summand wird einzeln abgeleitet — (x³)' = 3x² und (8x)' = 8.
f(x) = 2x³ + 5x. Bestimme die Stelle x₀ > 0, an der die Tangente die Steigung 11 hat.
Erklärung: f'(x) = 6x² + 5. Setze 6x² + 5 = 11 → 6x² = 6 → x² = 1 → x = 1 oder x = −1. Beide Stellen haben die Steigung 11; die positive ist x₀ = 1.
Der Graph von f steigt überall. Welche Wertetabelle kann zu f' gehören?
Erklärung: Steigt f überall, ist die Steigung überall positiv — jeder Wert von f' muss größer als 0 sein. Steigende, aber negative oder Null-Werte verwechseln „f steigt" mit „f' steigt".
f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1. Die Ableitung ist f'(x) = 3x² − 12x + ___.
Erklärung: (x³)' = 3x²; (−6x²)' = −12x; (9x)' = 9; (1)' = 0. Also f'(x) = 3x² − 12x + 9.
f(x) = x⁴. Berechne die zweite Ableitung f''(2).
Erklärung: f'(x) = 4x³; f''(x) = 12x². f''(2) = 12·4 = 48.
Für alle x gilt f'(x) = 0, und es ist f(2) = 5. Dann gilt auch f(7) = 5.
Erklärung: Richtig. Wenn die Ableitung überall null ist, ändert sich f nirgends — f ist konstant und hat überall den Wert 5.
f(x) = x³ − 3x. An welcher Stelle hat die Tangente die Steigung 0?
Erklärung: f'(x) = 3x² − 3 = 0 → x² = 1 → x = ±1.
Die Tangente an f(x) = x² − 4x bei x₀ = 3 hat die Gleichung y = mx + n. Berechne n.
Erklärung: f(3) = 9−12 = −3; f'(x) = 2x−4, f'(3) = 2. Tangente: y = 2·(x−3) + (−3) = 2x − 6 − 3 = 2x − 9. Also n = −9.
Produktregel: Für f(x) = x² · (3x + 1) ist f'(x) = 2x·(3x+1) + x²·3 = ___.
Erklärung: f'(x) = 2x(3x+1) + x²·3 = 6x² + 2x + 3x² = 9x² + 2x.
Quotientenregel: f(x) = (x² + 1)/(x − 1). Berechne f'(2).
Erklärung: f'(x) = [2x(x−1) − (x²+1)·1]/(x−1)² = (x² − 2x − 1)/(x−1)². f'(2) = (4−4−1)/1² = −1.
Wie lautet die Ableitung von f(x) = (3x − 1)⁵?
Erklärung: Kettenregel: äußere Ableitung 5(3x − 1)⁴ mal innere Ableitung 3 ergibt 15(3x − 1)⁴. Bei 5(3x − 1)⁴ fehlt die innere Ableitung, bei 15(3x − 1)⁵ wurde der Exponent nicht verringert.
f(x) = (2x + 3)⁴. Mit der Kettenregel: f'(x) = 4·(2x+3)³ · ___ = 8(2x+3)³.
Erklärung: Innere Ableitung von (2x+3) ist 2. Also f'(x) = 4(2x+3)³ · 2 = 8(2x+3)³.
f(x) = x · √x = x^(3/2). Berechne f'(4).
Erklärung: f'(x) = (3/2)x^(1/2) = (3/2)√x. f'(4) = (3/2)·2 = 3.
f(x) = 1/√x = x^(−1/2). Die Ableitung ist:
Erklärung: f'(x) = (−1/2)x^(−3/2) = −1/(2x^(3/2)) = −1/(2x√x).
f(x) = (x²+1)³. Berechne f'(1) mit der Kettenregel.
Erklärung: f'(x) = 3(x²+1)² · 2x. f'(1) = 3·(1+1)² · 2 = 3·4·2 = 24.
Die Ableitung von f(x) = x/(x²+1) nach der Quotientenregel ist f'(x) = (1−x²)/(___) .
Erklärung: f'(x) = [1·(x²+1) − x·2x]/(x²+1)² = (x²+1−2x²)/(x²+1)² = (1−x²)/(x²+1)².