Die Ableitung von f(x) = eˣ ist f'(x) = ___.

Erklärung: (eˣ)' = eˣ. Die Exponentialfunktion ist ihre eigene Ableitung.

Die Funktion y = eˣ ist die Umkehrfunktion von:

Erklärung: eˣ und ln x sind zueinander inverse Funktionen: e^(ln x) = x und ln(eˣ) = x. Die Umkehrfunktion ist nicht der Kehrwert 1/x, und 10ˣ hat die Umkehrfunktion log₁₀.

Berechne die Ableitung von f(x) = e^(3x) an der Stelle x = 0.

Erklärung: f'(x) = 3e^(3x) (Kettenregel). f'(0) = 3e⁰ = 3·1 = 3.

∫ eˣ dx = ___ + C.

Erklärung: Die Stammfunktion von eˣ ist wieder eˣ (plus Konstante).

Die Gleichung eˣ = −2 hat eine reelle Lösung.

Erklärung: Falsch. Die Exponentialfunktion ist stets positiv: eˣ > 0 für alle reellen x — der Wert −2 wird nie erreicht.

Berechne ∫₀¹ eˣ dx. Gib den Wert gerundet auf 2 Dezimalstellen an.

Erklärung: ∫₀¹ eˣ dx = [eˣ]₀¹ = e¹ − e⁰ = e − 1 ≈ 2,718 − 1 = 1,718 ≈ 1,72.

Die allgemeine Exponentialfunktion aˣ (a > 0, a ≠ 1) kann geschrieben werden als:

Erklärung: Da a = e^(ln a), gilt aˣ = (e^(ln a))ˣ = e^(x · ln a). x · ln a ist nur der Exponent (bzw. ln(aˣ)), nicht die Potenz selbst.

Die Ableitung von f(x) = aˣ ist f'(x) = aˣ · ___.

Erklärung: (aˣ)' = aˣ · ln a. Das folgt aus aˣ = e^(x ln a) und der Kettenregel.

Die Funktion f(x) = xe^(−x) hat ein lokales Maximum. Bestimme die x-Koordinate.

Erklärung: f'(x) = e^(−x) + x·(−e^(−x)) = e^(−x)(1 − x). f'(x) = 0 → 1 − x = 0 → x = 1. f''(1) = e^(−1)(−1) + e^(−1)(−1+1−1)... Einfacher: f''(x) = −e^(−x)(1−x) + e^(−x)·(−1) = e^(−x)(x−2). f''(1) = e^(−1)(−1) < 0 → Maximum bei x = 1.

Der Graph von f(x) = eˣ verläuft links der y-Achse irgendwann unterhalb der x-Achse.

Erklärung: Falsch. Für x → −∞ gilt eˣ → 0, aber eˣ bleibt immer positiv — die x-Achse ist waagerechte Asymptote und wird nie unterschritten.

Berechne ∫ e^(2x) dx an den Grenzen 0 bis 1. Gib den Wert gerundet auf 2 Dezimalstellen an.

Erklärung: ∫₀¹ e^(2x) dx = [½e^(2x)]₀¹ = ½e² − ½e⁰ = ½(e² − 1) ≈ ½(7,389 − 1) = ½ · 6,389 ≈ 3,19.

Das Zerfallsgesetz N(t) = N₀ · e^(−λt) beschreibt:

Erklärung: N(t) = N₀ · e^(−λt) mit λ > 0 beschreibt eine exponentielle Abnahme (Zerfall).

Die Halbwertszeit T ist definiert durch N(T) = ½N₀. Berechne T aus dem Zerfallsgesetz: T = ln 2 / λ. Für λ = 0,1 s⁻¹ ist T = ? (gerundet auf eine Dezimalstelle).

Erklärung: T = ln 2 / λ = 0,6931 / 0,1 = 6,931 ≈ 6,9 s.

Der Luftdruck in der Höhe h beträgt p(h) = p₀ · e^(−h/c), wobei c ≈ ___ m.

Erklärung: Die barometrische Höhenformel: p(h) = p₀ · e^(−h/c) mit c ≈ 8000 m bei 0 °C.

Ein Luftdruck von p₀ = 1013 mbar herrscht am Boden. Berechne den Druck in 2000 m Höhe (c = 8000 m). Gib den Wert gerundet auf ganze Zahlen an.

Erklärung: p(2000) = 1013 · e^(−2000/8000) = 1013 · e^(−0,25) ≈ 1013 · 0,7788 ≈ 789 mbar.

Die Differentialgleichung f'(x) = k · f(x) hat als Lösung f(x) = C · e^(kx).

Erklärung: Richtig. Prüfung: f'(x) = C·k·e^(kx) = k·f(x). ✓ Die Exponentialfunktion ist die einzige Lösung dieser Gleichung.

Berechne die Fläche zwischen f(x) = eˣ, der x-Achse und den Geraden x = 0, x = 2. Gib den Wert gerundet auf 2 Dezimalstellen an.

Erklärung: A = ∫₀² eˣ dx = [eˣ]₀² = e² − 1 ≈ 7,389 − 1 = 6,389 ≈ 6,39.

Welche Funktion hat die Eigenschaft f'(x) = f(x) und f(0) = 1?

Erklärung: (eˣ)' = eˣ und e⁰ = 1. Die Exponentialfunktion ist die einzige Funktion mit dieser Eigenschaft.

Bestimme die Wendepunkte von f(x) = x² · eˣ. Gib die kleinere x-Koordinate gerundet auf eine Dezimalstelle an.

Erklärung: f'(x) = eˣ(x² + 2x). f''(x) = eˣ(x² + 4x + 2). f''(x) = 0 → x² + 4x + 2 = 0 → x = −2 ± √2. Kleinere Lösung: x = −2 − √2 ≈ −3,4.

∫ e^(ax) dx = (1/a) · ___ + C für a ≠ 0.

Erklärung: ∫ e^(ax) dx = (1/a)·e^(ax) + C (lineare Substitution).

Wie lange dauert es, bis sich eine Bakterienkultur verdreifacht, wenn sie stündlich um 20% wächst? N(t) = N₀·e^(kt) mit k = ln(1,2). Gib T in Stunden gerundet auf eine Dezimalstelle an.

Erklärung: 3N₀ = N₀·e^(kt) → 3 = e^(kt) → ln 3 = kt → t = ln 3 / ln 1,2 = 1,0986/0,1823 ≈ 6,03 ≈ 6,0 h.

Aufgabe 1 von 21