Flächenberechnung mit Integralen
Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f und der x-Achse auf [a,b], wenn f(x) ≥ 0?
Erklärung: Für f(x) ≥ 0 auf [a,b] gibt das bestimmte Integral direkt den Flächeninhalt an.
Wenn f(x) < 0 auf [a,b], dann ist ∫ₐᵇ f(x) dx negativ, aber der Flächeninhalt ist |∫ₐᵇ f(x) dx|.
Erklärung: Richtig. Das Integral ist vorzeichenbehaftet. Der geometrische Flächeninhalt ist immer positiv, daher nimmt man den Betrag.
Berechne den Flächeninhalt zwischen f(x) = x² und der x-Achse auf [0,3].
Erklärung: A = ∫₀³ x² dx = [x³/3]₀³ = 27/3 = 9.
Der Flächeninhalt zwischen zwei Kurven f und g (mit f(x) ≥ g(x)) auf [a,b] ist A = ∫ₐᵇ (___ − g(x)) dx.
Erklärung: Man integriert die Differenz: obere Funktion minus untere Funktion.
Berechne den Flächeninhalt zwischen f(x) = x und g(x) = x² auf [0,1].
Erklärung: Auf [0,1] gilt x ≥ x². A = ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹ = 1/2 − 1/3 = 1/6 ≈ 0,17.
f(x) = x³ auf [−1, 1]. Wie berechnet man den Flächeninhalt korrekt?
Erklärung: Da f wechselt das Vorzeichen bei x = 0, muss man aufteilen: A = |∫₋₁⁰ x³ dx| + ∫₀¹ x³ dx = 1/4 + 1/4 = 1/2.
f(x) = −x² + 4. Berechne den Flächeninhalt zwischen f und der x-Achse. (Nullstellen bei x = ±2.)
Erklärung: A = ∫₋₂² (−x² + 4) dx = [−x³/3 + 4x]₋₂² = (−8/3 + 8) − (8/3 − 8) = −16/3 + 16 = 32/3 ≈ 10,67.
Um den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven zu berechnen, muss man zunächst die Schnittpunkte bestimmen.
Erklärung: Richtig. Die Schnittpunkte liefern die Integrationsgrenzen für die Flächenberechnung.
Berechne den Flächeninhalt, den die Parabel y = x² und die Gerade y = 4 einschließen.
Erklärung: Schnittpunkte: x² = 4 → x = ±2. A = ∫₋₂² (4 − x²) dx = [4x − x³/3]₋₂² = (8−8/3) − (−8+8/3) = 16 − 16/3 = 32/3 ≈ 10,67.
Wenn f die Nullstelle x₀ in (a,b) hat und das Vorzeichen wechselt, berechnet man den Flächeninhalt durch ___ des Integrals an der Nullstelle.
Erklärung: Man teilt bei jeder Nullstelle auf und nimmt von jedem Teilintegral den Betrag.
f(x) = x² − 1 auf [0,2]. Nullstelle bei x = 1. Berechne den Flächeninhalt (auf 2 Dezimalstellen).
Erklärung: A = |∫₀¹ (x²−1) dx| + ∫₁² (x²−1) dx. ∫₀¹ = [x³/3−x]₀¹ = 1/3−1 = −2/3. ∫₁² = [x³/3−x]₁² = (8/3−2)−(1/3−1) = 2/3+2/3 = 4/3. A = 2/3 + 4/3 = 2.
Zwei Funktionen f(x) = 6−x² und g(x) = x schließen eine Fläche ein. Welcher Schritt kommt zuerst?
Erklärung: Zuerst bestimmt man die Schnittpunkte als Integrationsgrenzen, dann integriert man die Differenz.
Berechne den Flächeninhalt zwischen f(x) = 4x − x² und der x-Achse. (Nullstellen: x = 0 und x = 4.)
Erklärung: A = ∫₀⁴ (4x − x²) dx = [2x² − x³/3]₀⁴ = 32 − 64/3 = 96/3 − 64/3 = 32/3 ≈ 10,67.
Der Flächeninhalt zwischen f(x) = x² und g(x) = x³ auf [0,1] beträgt ∫₀¹ (x² − x³) dx, da x² ≥ x³ auf [0,1].
Erklärung: Richtig. Für 0 ≤ x ≤ 1 gilt x² ≥ x³ (da x ≤ 1). A = ∫₀¹ (x² − x³) dx = [x³/3 − x⁴/4]₀¹ = 1/3 − 1/4 = 1/12.
Berechne ∫₀¹ (x² − x³) dx als Dezimalzahl (auf 2 Stellen).
Erklärung: ∫₀¹ (x² − x³) dx = [x³/3 − x⁴/4]₀¹ = 1/3 − 1/4 = 4/12 − 3/12 = 1/12 ≈ 0,08.
Eine Kraft F(x) = 3x² (in Newton) wirkt auf einen Körper, der von x = 0 bis x = 2 m bewegt wird. Die physikalische Arbeit beträgt:
Erklärung: W = ∫₀² 3x² dx = [x³]₀² = 8 J. Physikalische Arbeit ist das Integral der Kraft über den Weg.
Die Parabel y = x² und die Gerade y = 2x schließen eine Fläche ein. Berechne deren Inhalt (auf 2 Dezimalstellen).
Erklärung: Schnittpunkte: x² = 2x → x(x−2) = 0 → x = 0, x = 2. A = ∫₀² (2x − x²) dx = [x² − x³/3]₀² = 4 − 8/3 = 4/3 ≈ 1,33.
Die von f(x) = sin(x) und der x-Achse auf [0, π] eingeschlossene Fläche beträgt ∫₀π sin(x) dx = ___.
Erklärung: ∫₀π sin(x) dx = [−cos(x)]₀π = −cos(π) + cos(0) = 1 + 1 = 2.
Berechne den Flächeninhalt zwischen f(x) = x³ und der x-Achse auf [−1, 0] (Betrag nehmen).
Erklärung: |∫₋₁⁰ x³ dx| = |[x⁴/4]₋₁⁰| = |0 − 1/4| = 1/4 = 0,25.
Wie groß ist die Fläche des Gebiets, das von f(x) = x und g(x) = x² für x ∈ [0,1] eingeschlossen wird?
Erklärung: A = ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹ = 1/2 − 1/3 = 1/6.