Stammfunktionen
Eine Stammfunktion von f(x) = x³ ist F(x) = ___.
Erklärung: F'(x) = (x⁴/4)' = 4x³/4 = x³ = f(x). ✓
Welche Aussage über Stammfunktionen ist richtig?
Erklärung: Stammfunktionen sind bis auf eine Konstante C eindeutig: (F+C)' = F' = f.
Die Stammfunktion von f(x) = 0 ist F(x) = C (eine beliebige Konstante).
Erklärung: Richtig. (C)' = 0 = f(x) für jede Konstante C.
Eine Stammfunktion von f(x) = 5x⁴ ist F(x) = ___.
Erklärung: (x⁵)' = 5x⁴ = f(x). ✓
F(x) ist eine Stammfunktion von f(x) = 6x² mit F(0) = 5. Berechne F(2).
Erklärung: F(x) = 2x³ + C. F(0) = C = 5. F(2) = 2·8 + 5 = 16 + 5 = 21.
Die Stammfunktion von f(x) = xⁿ (n ≠ −1) lautet:
Erklärung: Die Potenzregel der Integration: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C.
Eine Stammfunktion von f(x) = 3x² − 4x + 1 ist F(x) = x³ − 2x² + ___ + C.
Erklärung: (x³)' = 3x², (−2x²)' = −4x, (x)' = 1. Also F(x) = x³ − 2x² + x + C.
∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx (Summenregel der Integration).
Erklärung: Richtig. Die Stammfunktion einer Summe ist die Summe der Stammfunktionen.
Bestimme die Stammfunktion F von f(x) = 4x³ − 6x mit F(1) = 0. Berechne F(2).
Erklärung: F(x) = x⁴ − 3x² + C. F(1) = 1 − 3 + C = 0 → C = 2. F(2) = 16 − 12 + 2 = 6.
Eine Stammfunktion von f(x) = 1/x² = x⁻² ist F(x) = ___ + C.
Erklärung: ∫x⁻² dx = x⁻¹/(−1) + C = −1/x + C. Probe: (−1/x)' = 1/x². ✓
Welche Funktion ist KEINE Stammfunktion von f(x) = 2x?
Erklärung: (2x² + 1)' = 4x ≠ 2x. Die anderen ergeben alle (x² + C)' = 2x = f(x).
Berechne eine Stammfunktion von f(x) = x⁴ − 2x² + 1 ausgewertet an x = 1 (ohne Konstante C).
Erklärung: F(x) = x⁵/5 − 2x³/3 + x. F(1) = 1/5 − 2/3 + 1 = 0,2 − 0,667 + 1 = 0,533 ≈ 0,53.
∫c·f(x) dx = c·∫f(x) dx für jede Konstante c (Faktorregel der Integration).
Erklärung: Richtig. Ein konstanter Faktor kann vor das Integral gezogen werden.
Eine Stammfunktion von f(x) = √x = x^(1/2) ist F(x) = (2/3)·x^(___) + C.
Erklärung: ∫x^(1/2) dx = x^(3/2)/(3/2) + C = (2/3)x^(3/2) + C.
f(x) = (2x + 1)³. Mit welcher Methode findet man am einfachsten eine Stammfunktion?
Erklärung: Da die innere Funktion u = 2x+1 eine lineare Funktion ist, kann man die Kettenregel rückwärts anwenden: F(x) = (2x+1)⁴/8 + C.
Bestimme eine Stammfunktion von f(x) = 12x² − 6x und werte sie an x = 2 aus (ohne C).
Erklärung: F(x) = 4x³ − 3x². F(2) = 32 − 12 = 20.
Das Symbol ∫f(x) dx bezeichnet die Menge aller ___ von f.
Erklärung: Das unbestimmte Integral ∫f(x) dx = F(x) + C umfasst alle Funktionen, deren Ableitung f ist.
Wenn F'(x) = G'(x) für alle x, dann ist F(x) − G(x) = C (eine Konstante).
Erklärung: Richtig. (F−G)' = F'−G' = 0, also ist F−G konstant. Zwei Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich nur um eine Konstante.
Eine Stammfunktion von f(x) = −3x² + 8x − 2, ausgewertet an x = 3 (ohne C).
Erklärung: F(x) = −x³ + 4x² − 2x. F(3) = −27 + 36 − 6 = 3.
Welche Stammfunktion von f(x) = 2x geht durch den Punkt (1, 3)?
Erklärung: F(x) = x² + C. F(1) = 1 + C = 3 → C = 2. Also F(x) = x² + 2.