Oberflächeninhalt von Quadern
Aus wie vielen Rechtecken besteht das Netz eines Quaders?
Erklärung: Ein Quader hat 6 Flächen: oben, unten, vorne, hinten, links, rechts. Das Netz besteht also aus 6 Rechtecken.
Berechne die Oberfläche eines Würfels mit Kantenlänge 5 cm.
Erklärung: Ein Würfel hat 6 gleiche Quadratflächen: O = 6 × 5² = 6 × 25 = 150 cm².
Welche Form hat das Netz eines Würfels?
Erklärung: Das Würfelnetz setzt sich aus sechs deckungsgleichen Quadraten zusammen, weil beim Würfel alle Kanten gleich lang sind.
Wie viele Kanten hat ein Quader?
Erklärung: Ein Quader hat 12 Kanten: 4 Längskanten, 4 Breitenkanten und 4 Höhenkanten.
Wie viele Ecken hat ein Quader?
Erklärung: Ein Quader hat 8 Ecken — an jeder Ecke treffen drei Kanten zusammen.
Ein Würfel ist ein spezieller Quader, bei dem alle Kanten gleich lang sind.
Erklärung: Beim Würfel sind alle 12 Kanten gleich lang und alle 6 Flächen sind Quadrate.
Ein Quader hat ___ Paare gegenüberliegender, gleich großer Flächen.
Erklärung: Oben/Unten, Vorne/Hinten, Links/Rechts — das sind 3 Paare. Deshalb steht in der Formel der Faktor 2.
Ein Würfel hat Kantenlänge 3 cm. Er soll bemalt werden. Wie viel Fläche muss bemalt werden (in cm²)?
Erklärung: O = 6 × 3² = 6 × 9 = 54 cm².
Ein Quader hat die Maße 5 cm × 3 cm × 2 cm. Berechne die Oberfläche.
Erklärung: O = 2 × (5×3 + 5×2 + 3×2) = 2 × (15 + 10 + 6) = 2 × 31 = 62 cm².
Die Formel für die Oberfläche eines Quaders lautet: O = 2 × (a×b + a×c + ___)
Erklärung: O = 2 × (a×b + a×c + b×c). Der Quader hat drei Paare gleicher Rechtecksflächen.
Schätze zuerst: Ein Quader misst 9,8 cm × 5,1 cm × 2,9 cm. Welcher Überschlag passt am besten zur Oberfläche?
Erklärung: Runde auf 10 × 5 × 3: O ≈ 2 × (10×5 + 10×3 + 5×3) = 2 × (50 + 30 + 15) = 190 ≈ 200 cm². Erst schätzen, dann genau rechnen.
Ein Schuhkarton hat die Maße 30 cm × 20 cm × 12 cm. Wie viel Karton (Oberfläche) wird benötigt (in cm²)?
Erklärung: O = 2 × (30×20 + 30×12 + 20×12) = 2 × (600 + 360 + 240) = 2 × 1200 = 2400 cm².
Ein Geschenk mit den Maßen 20 cm × 15 cm × 10 cm soll komplett eingepackt werden. Wie viel Geschenkpapier braucht man mindestens (in cm²)?
Erklärung: O = 2 × (20×15 + 20×10 + 15×10) = 2 × (300 + 200 + 150) = 2 × 650 = 1300 cm².
Ein Würfel hat eine Oberfläche von 96 cm². Wie lang ist eine Kante (in cm)?
Erklärung: O = 6 × a², also a² = 96 ÷ 6 = 16, und a = 4 cm.
Finde den Fehler: „Ein Quader mit 5 cm × 4 cm × 3 cm hat die Oberfläche O = 5 × 4 × 3 = 60 cm²." Stimmt das?
Erklärung: Das ist das Volumen, nicht die Oberfläche. Richtig: O = 2 × (5×4 + 5×3 + 4×3) = 2 × (20 + 15 + 12) = 94 cm². Mach die Probe, indem du die sechs Flächen einzeln addierst.
Ein offener Kasten (ohne Deckel) hat die Maße 8 cm × 6 cm × 4 cm. Berechne die Oberfläche (in cm²).
Erklärung: Volle Oberfläche: 2 × (48 + 32 + 24) = 2 × 104 = 208. Deckel abziehen: 8 × 6 = 48. 208 − 48 = 160 cm².
Ein Aquarium (ohne Deckel) hat die Maße 50 cm × 30 cm × 25 cm. Wie viel Glas wird benötigt (in cm²)?
Erklärung: Volle Oberfläche: 2 × (50×30 + 50×25 + 30×25) = 2 × (1500 + 1250 + 750) = 7000. Ohne Deckel (50×30 = 1500): 7000 − 1500 = 5500 cm².
Wenn man alle Kanten eines Quaders verdoppelt, vervierfacht sich die Oberfläche.
Erklärung: Die Oberfläche besteht aus Produkten von je zwei Kanten. Verdoppelt man beide, wird jede Teilfläche 2 × 2 = 4 mal so groß — also die ganze Oberfläche auch.
Aus 64 Holzwürfeln mit 1 cm Kante wird ein Quader gelegt. Welcher Quader braucht am wenigsten Papier zum Einwickeln?
Erklärung: Würfel: O = 6 · 16 = 96 cm². Platte: O = 2 · (64 + 8 + 8) = 160 cm². Beide fassen 64 cm³ – derselbe Rauminhalt bedeutet nicht dieselbe Oberfläche. Je kompakter der Körper, desto weniger Hülle braucht er.
12 Zuckerwürfel mit 1 cm Kante, zu einem Block von 3 cm × 2 cm × 2 cm gestapelt, haben 32 cm² Oberfläche. Wie groß ist die Oberfläche, wenn dieselben 12 Würfel als Stange von 12 cm × 1 cm × 1 cm liegen (in cm²)?
Erklärung: O = 2 · (12 · 1 + 12 · 1 + 1 · 1) = 2 · 25 = 50 cm². Der Inhalt ist derselbe (12 cm³), aber die Stange hat viel mehr Außenfläche als der kompakte Block – bei ihr liegen fast alle Würfel mit vier Seiten frei.