Binomische Formeln (Vertiefung)
Welche der folgenden Gleichungen ist die erste binomische Formel?
Erklärung: Die erste binomische Formel lautet (a + b)² = a² + 2ab + b². Man erhält sie durch Ausmultiplizieren von (a + b)(a + b).
Welche der folgenden Gleichungen ist die dritte binomische Formel?
Erklärung: Die dritte binomische Formel lautet (a + b)(a − b) = a² − b². Man spricht auch von der Differenz zweier Quadrate.
Berechne mit der 1. binomischen Formel: (x + 5)² = x² + ___x + 25
Erklärung: (x + 5)² = x² + 2·x·5 + 25 = x² + 10x + 25.
Berechne mit der 2. binomischen Formel: (x − 4)² = x² − ___x + 16
Erklärung: (x − 4)² = x² − 2·x·4 + 16 = x² − 8x + 16.
Berechne mit der 3. binomischen Formel: (7 + 3)(7 − 3) = ?
Erklärung: (7 + 3)(7 − 3) = 7² − 3² = 49 − 9 = 40.
Wende die 1. binomische Formel an: (2a + 3b)² = 4a² + ___ab + 9b²
Erklärung: (2a + 3b)² = (2a)² + 2·(2a)·(3b) + (3b)² = 4a² + 12ab + 9b².
Wende die 2. binomische Formel an: (5x − 2y)² = 25x² − ___xy + 4y²
Erklärung: (5x − 2y)² = (5x)² − 2·(5x)·(2y) + (2y)² = 25x² − 20xy + 4y².
Berechne 51² im Kopf mit der 1. binomischen Formel: 51² = (50 + 1)² = ?
Erklärung: (50 + 1)² = 50² + 2·50·1 + 1² = 2500 + 100 + 1 = 2601.
Berechne 49² im Kopf mit der 2. binomischen Formel: 49² = (50 − 1)² = ?
Erklärung: (50 − 1)² = 50² − 2·50·1 + 1² = 2500 − 100 + 1 = 2401.
Berechne 47 · 53 im Kopf mit der 3. binomischen Formel: (50 − 3)(50 + 3) = ?
Erklärung: (50 − 3)(50 + 3) = 50² − 3² = 2500 − 9 = 2491.
Welcher Term ist ein vollständiges Quadrat?
Erklärung: x² + 6x + 9 = (x + 3)², da 2·x·3 = 6x und 3² = 9.
Faktorisiere mit der 3. binomischen Formel: 16x² − 9y² = (4x + 3y)(___)
Erklärung: 16x² − 9y² = (4x)² − (3y)² = (4x + 3y)(4x − 3y).
Faktorisiere: 25a² − 10ab + b² = (___)²
Erklärung: 25a² − 10ab + b² = (5a)² − 2·(5a)·b + b² = (5a − b)².
Lars rechnet (3 + 4)² = 3² + 4² = 25. Seine Rechnung ist richtig.
Erklärung: Falsch. Es fehlt der gemischte Term 2ab = 2·3·4 = 24. Richtig ist (3 + 4)² = 7² = 49 — die Klammer darf nicht gliedweise quadriert werden.
Quadratische Ergänzung: x² + 8x = (x + 4)² − k. Was ist k?
Erklärung: x² + 8x + 16 = (x + 4)², also x² + 8x = (x + 4)² − 16. Daher k = 16.
Die geometrische Deutung von (a + b)² zeigt ein Quadrat, das in wie viele Teilflächen zerlegt wird?
Erklärung: Das Quadrat mit Seitenlänge (a + b) zerfällt in: ein Quadrat a², ein Quadrat b² und zwei Rechtecke mit Fläche je ab.
Vereinfache: (3x + 2)² − (3x − 2)² = ___x
Erklärung: (3x + 2)² − (3x − 2)² = (9x² + 12x + 4) − (9x² − 12x + 4) = 24x.
Ergänze die quadratische Ergänzung: x² − 12x + ___ = (x − 6)²
Erklärung: (x − 6)² = x² − 12x + 36, also ist die Ergänzung 36.
Ein Quadrat mit Seitenlänge (a + b) hat den Flächeninhalt 100 cm². Wenn a = 7 cm, wie groß ist b (in cm)?
Erklärung: (a + b)² = 100 → a + b = 10. Mit a = 7: b = 10 − 7 = 3 cm.
Welchen Term muss man zu x² + 10x addieren, um ein vollständiges Quadrat zu erhalten?
Erklärung: x² + 10x + 25 = (x + 5)². Die Ergänzung ist (10/2)² = 25.
Berechne: (2,5 + 1,5)² − (2,5 − 1,5)² = ?
Erklärung: (2,5 + 1,5)² − (2,5 − 1,5)² = 4² − 1² = 16 − 1 = 15. Oder mit der 3. binomischen Formel: = (4 + 1)(4 − 1) = 5 · 3 = 15.
Der Term 4x² − 12x + 9 lässt sich als (2x − 3)² schreiben.
Erklärung: Richtig. (2x − 3)² = 4x² − 2·(2x)·3 + 9 = 4x² − 12x + 9.
Ein quadratischer Garten hat die Seitenlänge 10 m. Die Seitenlänge wird um 2 m verlängert. Um wie viel m² nimmt die Fläche zu? Verwende die 1. binomische Formel.
Erklärung: Neue Fläche: (10 + 2)² = 144 m². Alte Fläche: 10² = 100 m². Zunahme: 144 − 100 = 44 m². Allgemein: (a + 2)² − a² = 4a + 4.
Faktorisiere: a² − 64 = (a + ___)(a − ___)
Erklärung: a² − 64 = a² − 8² = (a + 8)(a − 8). Dritte binomische Formel.
Bestimme den kleinstmöglichen Wert des Terms x² + 6x für x ∈ ℝ.
Erklärung: Quadratische Ergänzung: x² + 6x = (x + 3)² − 9. Da (x + 3)² ≥ 0, ist der kleinste Wert −9 (bei x = −3).
Berechne: 998 · 1002 mit der 3. binomischen Formel.
Erklärung: 998 · 1002 = (1000 − 2)(1000 + 2) = 1000² − 2² = 1000000 − 4 = 999996.
Welcher Term entsteht bei der Faktorisierung von 9a² + 30ab + 25b²?
Erklärung: 9a² + 30ab + 25b² = (3a)² + 2·(3a)·(5b) + (5b)² = (3a + 5b)².
Für welchen Wert von k ist x² + kx + 49 ein vollständiges Quadrat? (k > 0)
Erklärung: x² + kx + 49 = (x + 7)² erfordert k = 2·7 = 14.