Wie lautet die allgemeine Lösungsformel (Mitternachtsformel) für ax² + bx + c = 0?

Erklärung: Die Mitternachtsformel lautet x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Die Diskriminante D = b² − 4ac entscheidet über die Anzahl der Lösungen.

Löse: x² − 5x + 6 = 0. Berechne die größere Lösung.

Erklärung: D = 25 − 24 = 1. x = (5 ± 1)/2. x₁ = 3, x₂ = 2. Die größere Lösung ist 3.

Löse: x² − 5x + 6 = 0. Berechne die kleinere Lösung.

Erklärung: x₁ = (5 + 1)/2 = 3 und x₂ = (5 − 1)/2 = 2.

Berechne die Diskriminante von 2x² + 3x − 5 = 0.

Erklärung: D = b² − 4ac = 9 − 4·2·(−5) = 9 + 40 = 49.

Wie viele reelle Lösungen hat x² + 2x + 5 = 0?

Erklärung: D = 4 − 20 = −16 < 0. Negative Diskriminante → keine reelle Lösung.

Löse durch Ausklammern: x² − 7x = 0. Wie lautet die von Null verschiedene Lösung?

Erklärung: x(x − 7) = 0 → x = 0 oder x = 7.

Löse: 3x² − 12 = 0.

Erklärung: 3x² = 12 → x² = 4 → x = ±2.

Löse: x² + 6x + 9 = 0. Was ist die (einzige) Lösung?

Erklärung: (x + 3)² = 0 → x = −3 (doppelte Nullstelle).

Welche Methode ist am schnellsten für x² = 81?

Erklärung: x² = 81 → x = ±9. Hier muss man nicht die Lösungsformel verwenden.

Löse: 2x² − 10x + 12 = 0. Berechne die Summe der beiden Lösungen.

Erklärung: D = 100 − 96 = 4. x = (10 ± 2)/4. x₁ = 3, x₂ = 2. Summe = 5. (Alternativ: Satz von Vieta: x₁ + x₂ = −b/a = 10/2 = 5.)

Bei der Gleichung ax² + bx + c = 0 heißt der Ausdruck b² − 4ac die ___.

Erklärung: Die Diskriminante D = b² − 4ac bestimmt die Anzahl der Lösungen: D > 0 → 2, D = 0 → 1, D < 0 → 0 reelle Lösungen.

Die Gleichung x² + 1 = 0 hat keine reelle Lösung.

Erklärung: Richtig. x² = −1 hat keine reelle Lösung, da x² ≥ 0 für alle x ∈ ℝ.

Löse die Bruchgleichung: 12/x + x = 7. Wie lautet die größere Lösung?

Erklärung: 12/x + x = 7 → 12 + x² = 7x → x² − 7x + 12 = 0. D = 49 − 48 = 1. x = (7 ± 1)/2. x₁ = 4, x₂ = 3.

Berechne das Produkt der Lösungen von x² − 3x − 10 = 0.

Erklärung: Nach Vieta: x₁ · x₂ = c/a = −10/1 = −10. (Probe: x₁ = 5, x₂ = −2, Produkt = −10.)

Wie viele reelle Lösungen hat x² − 8x + 16 = 0?

Erklärung: D = 64 − 64 = 0 → genau eine (doppelte) Lösung: x = 4.

Löse: (x − 1)(x + 5) = 0. Berechne die Summe der Lösungen.

Erklärung: x = 1 oder x = −5. Summe = 1 + (−5) = −4.

Die reduzierte Form einer quadratischen Gleichung lautet x² + px + q = 0. Wie heißt die Lösungsformel?

Erklärung: Für x² + px + q = 0 gilt die pq-Formel: x₁,₂ = −p/2 ± √(p²/4 − q).

Löse mit der pq-Formel: x² − 6x + 8 = 0. Berechne das Produkt der Lösungen.

Erklärung: p = −6, q = 8. x = 3 ± √(9 − 8) = 3 ± 1. x₁ = 4, x₂ = 2. Produkt = 8. (Satz von Vieta: x₁ · x₂ = q.)

Löse: x² + 2x − 15 = 0. Berechne die größere Lösung.

Erklärung: x = −1 ± √(1 + 15) = −1 ± 4. x₁ = 3, x₂ = −5.

Sachaufgabe: Das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist 132. Wie lautet die größere Zahl?

Erklärung: n(n + 1) = 132 → n² + n − 132 = 0. D = 1 + 528 = 529. n = (−1 + 23)/2 = 11. Die größere Zahl ist 12.

Satz von Vieta: Für x² + px + q = 0 mit Lösungen x₁, x₂ gilt:

Erklärung: Satz von Vieta: Die Summe der Lösungen ist −p, das Produkt ist q.

Sachaufgabe: Ein Rechteck hat den Umfang 28 cm und die Fläche 48 cm². Wie lang ist die längere Seite (in cm)?

Erklärung: 2(a + b) = 28 → a + b = 14. a · b = 48. Also a und b sind Lösungen von x² − 14x + 48 = 0. x = 7 ± √(49 − 48) = 7 ± 1. a = 8, b = 6.

Führe auf eine quadratische Gleichung zurück und löse: x⁴ − 5x² + 4 = 0. Wie viele reelle Lösungen gibt es?

Erklärung: Substitution z = x²: z² − 5z + 4 = 0 → (z − 1)(z − 4) = 0 → z = 1 oder z = 4. Rücksubstitution: x² = 1 → x = ±1; x² = 4 → x = ±2. Insgesamt 4 Lösungen.

Aufgabe 1 von 23