Änderungsraten im Sachzusammenhang
Für die Fahrt s(t) = 20t² + 40t (t in Stunden, s in Kilometern) gilt s′(1) = 80. Was bedeutet das?
Erklärung: s′(1) ist die lokale Änderungsrate, hier die Geschwindigkeit im Moment t = 1 h. Die zurückgelegte Strecke ist s(1) = 60 km, und der Schnitt der ersten Stunde ist 60 km/h.
Die Wassermenge V in einem Becken (in m³) hängt von der Zeit t (in Minuten) ab. In welcher Einheit wird die lokale Änderungsrate V′(t) angegeben?
Erklärung: Die Ableitung misst die Änderung von V je Einheit von t: Kubikmeter pro Minute. „m³“ ist die Einheit von V selbst.
Eine Straße hat an der markierten Stelle die Steigung 8 %. Das bedeutet: Auf 100 m Strecke steigt sie dort um 8 m.
Erklärung: 8 % ist die Steigung f′ = 0,08, also 0,08 m Höhengewinn je Meter Strecke und 8 m je 100 m.
Für s(t) = 20t² + 40t gilt s′(t) = 40t + 40. Berechne die Geschwindigkeit s′(3) in km/h.
Erklärung: s′(3) = 40 · 3 + 40 = 160 km/h.
Das Wasservolumen in einem Becken wächst nach V(t) = 3t² (V in m³, t in min). Wie schnell ändert sich V zur Zeit t = 4 min (in m³/min)?
Erklärung: V′(t) = 6t, also V′(4) = 24 m³/min.
Ein Auto legt in 2 Stunden genau 160 km zurück. Was folgt daraus sicher?
Erklärung: 160 km in 2 h ist die mittlere Änderungsrate 80 km/h. Über die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt sagt der Durchschnitt nichts Sicheres.
Die Abbildung zeigt die Fahrt s(t) = 20t² + 40t mit der gestrichelten Sekante durch (0 | 0) und (2 | 160). Die Tangente im Punkt P bei t = 1 hat die Steigung s′(1) = 80. Sie ist parallel zur Sekante.
Erklärung: Die Sekante hat die Steigung (160 − 0)/2 = 80, die Tangente bei t = 1 die Steigung s′(1) = 80. Bei einer Parabel ist die lokale Rate in der Mitte des Intervalls gleich der mittleren Rate.
Weil das Auto mit s(t) = 20t² + 40t in 2 Stunden 160 km zurücklegt, ist die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0 gleich 80 km/h.
Erklärung: Der Durchschnitt 80 km/h ist nicht der Tachowert. Zum Zeitpunkt 0 gilt s′(0) = 40 km/h.
Berechne die mittlere Änderungsrate von s(t) = 20t² + 40t auf dem Intervall [0; 1] in km/h.
Erklärung: (s(1) − s(0))/(1 − 0) = (60 − 0)/1 = 60 km/h.
Ein Sprinter legt nach s(t) = 5t² eine Strecke von s Metern in t Sekunden zurück. Berechne seine momentane Geschwindigkeit bei t = 4 s abzüglich seiner mittleren Geschwindigkeit auf [0; 4] (in m/s).
Erklärung: s′(t) = 10t, also s′(4) = 40 m/s. Mittlere Geschwindigkeit: s(4)/4 = 80/4 = 20 m/s. Differenz: 40 − 20 = 20 m/s.
Ein Ball fliegt nach h(t) = 20t − 5t² (t in Sekunden, h in Metern). Es gilt h′(3) = −10. Was bedeutet das?
Erklärung: Das Vorzeichen von h′ gibt die Richtung an: negativ heißt sinkend. Die Höhe nach 3 s ist h(3) = 15 m, die −10 ist eine Geschwindigkeit in m/s.
Zum Zeitpunkt t = 2 s (Punkt T im höchsten Punkt des Graphen von h) gilt h′(2) = 0.
Erklärung: Im höchsten Punkt ist die Tangente waagerecht: Der Ball steigt nicht mehr und sinkt noch nicht. Rechnerisch: h′(2) = 20 − 20 = 0.
Ist die lokale Änderungsrate der Wassermenge in einem Becken negativ, so ist das Becken leer.
Erklärung: Negativ heißt nur, dass die Wassermenge abnimmt. Wie viel Wasser noch da ist, sagt V(t), nicht V′(t).
Für h(t) = 20t − 5t² gilt h′(t) = 20 − 10t. Berechne h′(1) in m/s.
Erklärung: h′(1) = 20 − 10 = 10 m/s: Der Ball steigt.
Zu welchem Zeitpunkt t (in s) erreicht der Ball mit h(t) = 20t − 5t² seinen höchsten Punkt? Dort gilt h′(t) = 0.
Erklärung: 20 − 10t = 0 ergibt t = 2 s.
Das Volumen in einem Tank folgt V(t) = −t³ + 6t² (V in m³, t in Stunden). Berechne die mittlere Änderungsrate auf [0; 2] und die lokale Änderungsrate zur Zeit t = 2, beide mit Einheit, und deute V′(5) im Sachzusammenhang. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die mittlere Rate ist der Differenzenquotient über [0; 2], die lokale Rate die Ableitung an der Stelle 2. Ihr Vorzeichen zeigt Zu- oder Abnahme, ihre Einheit ist m³ pro Stunde.