Änderungsraten im Sachzusammenhang

Rates of change in context

Mathematik Klasse 11 16 Aufgaben

AnalysisAbleitungenÄnderungsrate

f′(x₀) ist die lokale Änderungsrate mit der Einheit „Einheit von f pro Einheit von x“: s′(1) = 80 heißt, dass ein Auto nach 1 h gerade 80 km/h fährt. Sie ist von der mittleren Änderungsrate verschieden, und ihr Vorzeichen zeigt, ob eine Größe zu- oder abnimmt; f′ = 0 heißt: Im Augenblick ändert sich nichts, etwa im höchsten Punkt eines Wurfs. Der Abschnitt räumt aus, den Durchschnitt mit dem Tachowert gleichzusetzen (Orton 1983). Er bereitet Extrem- und Wendestellen der Kurvendiskussion und die Modellierung in Jgst. 12 vor.

Momentan und im Mittel

Das Auto vom Anfang, dasselbe wie im Kurs zu Sekanten, fährt nach $s (t) = 20 t^{2} + 40 t$ (t in Stunden, s in Kilometern). In 2 Stunden legt es 160 km zurück, die mittlere Änderungsrate ist $\frac{160}{2} = 80$ km/h. Mit Faktor- und Summenregel ist die Ableitung $s^{'} (t) = 40 t + 40$ . Sie ist die lokale Änderungsrate, hier die Momentangeschwindigkeit, die der Tacho zeigt: $s^{'} (0) = 40$ , $s^{'} (1) = 80$ , $s^{'} (2) = 120$ km/h.

Verschiebe t₀. Wann ist die Momentangeschwindigkeit gleich der mittleren, wann kleiner, wann größer?

Bei $t_{0} = 1$ läuft die Tangente parallel zur gestrichelten Sekante durch (0 | 0) und (2 | 160): Beide Chips zeigen 80 km/h. Vorher fährt das Auto langsamer als im Schnitt, danach schneller. Der Durchschnitt von 80 km/h heißt also nicht, dass der Tacho die ganze Zeit 80 zeigte.

Die Einheit ist „Einheit von s pro Einheit von t“. Was $s^{'} (1) = 80$ bedeutet: Nach 1 Stunde fährt das Auto gerade mit 80 km/h. Es bedeutet nicht, dass es 80 km zurückgelegt hat (das sind $s (1) = 60$ km). Lies jede Zahl mit ihrer Einheit: 60 km ist eine Strecke, 60 km/h ist eine Rate.

Vorzeichen und Höhepunkt

Ein Ball wird senkrecht hochgeworfen: $h (t) = 20 t - 5 t^{2}$ (t in Sekunden, h in Metern), mit der Ableitung $h^{'} (t) = 20 - 10 t$ in m/s. In der Figur fliegt der Ball links neben der Achse, immer auf der Höhe von P.

Verschiebe t₀ von 0 bis 4 und schau auf den Ball. In welchem Zeitraum liegt Q über der t-Achse, und was tut der Ball währenddessen?

Bis $t = 2$ liegt Q über der Achse, und der Ball steigt: $h^{'} (1) = 10$ , er gewinnt in diesem Augenblick 10 m pro Sekunde. Bei $h^{'} (2) = 0$ steht er für einen Augenblick im höchsten Punkt, 20 m hoch. Danach liegt Q unter der Achse: $h^{'} (3) = - 10$ , der Ball sinkt mit 10 m/s, obwohl er mit $h (3) = 15$ m genauso hoch ist wie bei $t = 1$ . Ein negativer Wert ist kein Fehler: Die Größe nimmt ab.

Rückblick

Der Tacho vom Anfang ist jetzt eine Rechnung: $s^{'} (t) = 40 t + 40$ , für jeden Augenblick, aus zwei Regeln. Unter den Regeln liegen die Schritte des Kurses: Jede Ableitung ist ein Grenzwert von Sekantensteigungen, f′ ist eine eigene Funktion mit einem eigenen Graphen, und wo die Sekanten von links und von rechts nicht dasselbe liefern, gibt es keine Tangente.

Weggelassen hat der Kurs alles außer ganzrationalen Funktionen. Für Produkte wie $x \cdot sin x$ , für Brüche und für verkettete Funktionen wie $(2 x + 1)^{5}$ gibt es eigene Regeln (Produkt-, Quotienten- und Kettenregel), und $e^{x}$ und $sin x$ haben eigene Ableitungen. Der nächste Kurs nutzt f′, um Graphen zu untersuchen: Wo f′ das Vorzeichen wechselt, hat f einen Hoch- oder Tiefpunkt, so wie $x^{3} - 3 x$ an den Stellen −1 und 1.

Voraussetzungen (1)

Faktor- und Summenregel

Klasse 11

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Für die Fahrt s(t) = 20t² + 40t (t in Stunden, s in Kilometern) gilt s′(1) = 80. Was bedeutet das?

● Nach 1 h fährt das Auto gerade mit 80 km/h.
○ Nach 1 h hat das Auto 80 km zurückgelegt.
○ In der ersten Stunde fährt das Auto im Schnitt 80 km/h.

s′(1) ist die lokale Änderungsrate, hier die Geschwindigkeit im Moment t = 1 h. Die zurückgelegte Strecke ist s(1) = 60 km, und der Schnitt der ersten Stunde ist 60 km/h.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Die Wassermenge V in einem Becken (in m³) hängt von der Zeit t (in Minuten) ab. In welcher Einheit wird die lokale Änderungsrate V′(t) angegeben?

● m³/min
○ m³
○ min/m³

Die Ableitung misst die Änderung von V je Einheit von t: Kubikmeter pro Minute. „m³“ ist die Einheit von V selbst.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Eine Straße hat an der markierten Stelle die Steigung 8 %. Das bedeutet: Auf 100 m Strecke steigt sie dort um 8 m.

✓ Wahr

8 % ist die Steigung f′ = 0,08, also 0,08 m Höhengewinn je Meter Strecke und 8 m je 100 m.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Ein Auto legt in 2 Stunden genau 160 km zurück. Was folgt daraus sicher?

● Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt 80 km/h.
○ Das Auto fährt zu jedem Zeitpunkt 80 km/h.
○ Nach 1 h fährt das Auto genau 80 km/h.

160 km in 2 h ist die mittlere Änderungsrate 80 km/h. Über die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt sagt der Durchschnitt nichts Sicheres.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt die Fahrt s(t) = 20t² + 40t mit der gestrichelten Sekante durch (0 | 0) und (2 | 160). Die Tangente im Punkt P bei t = 1 hat die Steigung s′(1) = 80. Sie ist parallel zur Sekante.

✓ Wahr

Die Sekante hat die Steigung (160 − 0)/2 = 80, die Tangente bei t = 1 die Steigung s′(1) = 80. Bei einer Parabel ist die lokale Rate in der Mitte des Intervalls gleich der mittleren Rate.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Weil das Auto mit s(t) = 20t² + 40t in 2 Stunden 160 km zurücklegt, ist die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0 gleich 80 km/h.

✓ Falsch

Der Durchschnitt 80 km/h ist nicht der Tachowert. Zum Zeitpunkt 0 gilt s′(0) = 40 km/h.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Ein Ball fliegt nach h(t) = 20t − 5t² (t in Sekunden, h in Metern). Es gilt h′(3) = −10. Was bedeutet das?

● Der Ball sinkt nach 3 s mit 10 m/s.
○ Der Ball ist nach 3 s 10 m unter dem Boden.
○ Der Ball steigt nach 3 s mit 10 m/s.

Das Vorzeichen von h′ gibt die Richtung an: negativ heißt sinkend. Die Höhe nach 3 s ist h(3) = 15 m, die −10 ist eine Geschwindigkeit in m/s.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Zum Zeitpunkt t = 2 s (Punkt T im höchsten Punkt des Graphen von h) gilt h′(2) = 0.

✓ Wahr

Im höchsten Punkt ist die Tangente waagerecht: Der Ball steigt nicht mehr und sinkt noch nicht. Rechnerisch: h′(2) = 20 − 20 = 0.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Ist die lokale Änderungsrate der Wassermenge in einem Becken negativ, so ist das Becken leer.

✓ Falsch

Negativ heißt nur, dass die Wassermenge abnimmt. Wie viel Wasser noch da ist, sagt V(t), nicht V′(t).

Mittel

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Für s(t) = 20t² + 40t gilt s′(t) = 40t + 40. Berechne die Geschwindigkeit s′(3) in km/h.

✓ Antwort: 160

s′(3) = 40 · 3 + 40 = 160 km/h.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Berechne die mittlere Änderungsrate von s(t) = 20t² + 40t auf dem Intervall [0; 1] in km/h.

✓ Antwort: 60

(s(1) − s(0))/(1 − 0) = (60 − 0)/1 = 60 km/h.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Für h(t) = 20t − 5t² gilt h′(t) = 20 − 10t. Berechne h′(1) in m/s.

✓ Antwort: 10

h′(1) = 20 − 10 = 10 m/s: Der Ball steigt.

Schwer

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Das Wasservolumen in einem Becken wächst nach V(t) = 3t² (V in m³, t in min). Wie schnell ändert sich V zur Zeit t = 4 min (in m³/min)?

✓ Antwort: 24

V′(t) = 6t, also V′(4) = 24 m³/min.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Ein Sprinter legt nach s(t) = 5t² eine Strecke von s Metern in t Sekunden zurück. Berechne seine momentane Geschwindigkeit bei t = 4 s abzüglich seiner mittleren Geschwindigkeit auf [0; 4] (in m/s).

✓ Antwort: 20

s′(t) = 10t, also s′(4) = 40 m/s. Mittlere Geschwindigkeit: s(4)/4 = 80/4 = 20 m/s. Differenz: 40 − 20 = 20 m/s.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Zu welchem Zeitpunkt t (in s) erreicht der Ball mit h(t) = 20t − 5t² seinen höchsten Punkt? Dort gilt h′(t) = 0.

✓ Antwort: 2

20 − 10t = 0 ergibt t = 2 s.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Das Volumen in einem Tank folgt V(t) = −t³ + 6t² (V in m³, t in Stunden). Berechne die mittlere Änderungsrate auf [0; 2] und die lokale Änderungsrate zur Zeit t = 2, beide mit Einheit, und deute V′(5) im Sachzusammenhang. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: V(0) = 0 und V(2) = −8 + 24 = 16, mittlere Rate (16 − 0)/2 = 8 m³/h. V′(t) = −3t² + 12t, V′(2) = −12 + 24 = 12 m³/h: Zur Zeit t = 2 h füllt sich der Tank gerade mit 12 m³/h. V′(5) = −75 + 60 = −15 m³/h: Nach 5 h nimmt das Volumen mit 15 m³/h ab, der Tank leert sich.

Die mittlere Rate ist der Differenzenquotient über [0; 2], die lokale Rate die Ableitung an der Stelle 2. Ihr Vorzeichen zeigt Zu- oder Abnahme, ihre Einheit ist m³ pro Stunde.