Faktor- und Summenregel
Wie lautet die Ableitung von f(x) = 4x³?
Erklärung: Der Faktor 4 bleibt stehen, x³ wird zu 3x²: 4 · 3x² = 12x². „3x²“ lässt den Faktor wegfallen, „12x³“ vergisst, den Exponenten zu senken.
Die Abbildung zeigt die Graphen von f(x) = x² und g(x) = 3x² mit ihren Tangenten bei x = 1. Wievielmal so steil wie die Tangente an f ist die Tangente an g?
Erklärung: f′(1) = 2 und g′(1) = 3 · 2 = 6, also ist die Tangente an g dreimal so steil. Der Faktor 3 bleibt beim Ableiten stehen, er wird nicht quadriert.
Berechne f′(2) für f(x) = 3x².
Erklärung: f′(x) = 3 · 2x = 6x, also f′(2) = 12.
Die Tangente an f(x) = 4x² hat an der Stelle x₀ die Steigung 24. Bestimme x₀.
Erklärung: f′(x) = 8x. Aus 8x₀ = 24 folgt x₀ = 3.
Wie lautet die Ableitung von f(x) = x³ + x²?
Erklärung: Jedes Glied wird für sich abgeleitet: (x³)′ = 3x², (x²)′ = 2x. Die Summe der Ableitungen ist 3x² + 2x. „6x³“ multipliziert die Ableitungen, „3x² + x²“ leitet nur ein Glied ab.
Die abgebildete Tangente an den Graphen von f(x) = x² + x im Punkt P(1 | 2) hat die Steigung 3.
Erklärung: f′(x) = 2x + 1, also f′(1) = 3. Die Tangente durch P(1 | 2) mit der Steigung 3 ist y = 3x − 1.
Ergänze: (x³ − x²)′ = 3x² − ___
Erklärung: Glied für Glied: (x³)′ = 3x² und (x²)′ = 2x.
Berechne f′(2) für f(x) = x³ − 6x.
Erklärung: f′(x) = 3x² − 6, also f′(2) = 12 − 6 = 6.
Wie lautet die Ableitung von f(x) = x² + 9?
Erklärung: Ein konstanter Summand fällt beim Ableiten weg: (x² + 9)′ = 2x + 0. „2x + 9“ behält die 9, „x²“ leitet gar nicht ab.
Die Graphen von f(x) = x² und g(x) = x² + 3 (Abbildung) haben an der Stelle x = 1 dieselbe Steigung.
Erklärung: g entsteht aus f durch Verschieben um 3 nach oben. Die Steigungen ändern sich dabei nicht: f′(1) = g′(1) = 2.
Der Graph von f(x) = x² + c hat für jede Zahl c an der Stelle x = 2 die Steigung 4 + c.
Erklärung: f′(x) = 2x, egal wie c gewählt ist: Die Konstante c fällt weg, und f′(2) = 4 für jedes c.
Berechne f′(1) für f(x) = 3x² + 8.
Erklärung: f′(x) = 6x, der Summand 8 fällt weg. f′(1) = 6.
Wie steil ist der Graph von g(x) = x³ − 100 an der Stelle x = 2?
Erklärung: g′(x) = 3x², die −100 fällt weg. g′(2) = 12.
Wie lautet die Ableitung von f(x) = x(x + 3)?
Erklärung: Erst ausmultiplizieren: f(x) = x² + 3x, dann Glied für Glied ableiten: 2x + 3. „1“ multipliziert die Ableitungen der Klammern (1 · 1), „x + 3“ leitet nur den ersten Faktor ab.
Wie lautet f(x) = (x + 2)² ausmultipliziert, sodass man Glied für Glied ableiten kann?
Erklärung: Binomische Formel: (x + 2)² = x² + 4x + 4. Daraus folgt f′(x) = 2x + 4. „x² + 4“ lässt das Mischglied weg.
Berechne f′(1) für f(x) = x(x + 5).
Erklärung: f(x) = x² + 5x, also f′(x) = 2x + 5 und f′(1) = 7.
Berechne f′(1) für f(x) = (x + 2)(x − 3).
Erklärung: f(x) = x² − x − 6, also f′(x) = 2x − 1 und f′(1) = 1.
Leite f(x) = 2x³ − 3x² + 4x − 7 ab und bestimme alle Stellen, an denen der Graph von f die Steigung 4 hat. Gib auch die zugehörigen Punkte des Graphen an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Faktor- und Summenregel liefern f′(x) = 6x² − 6x + 4. Die Bedingung f′(x) = 4 führt auf 6x(x − 1) = 0, also zwei Stellen; die Höhen folgen aus f.