Faktor- und Summenregel

Constant factor and sum rule

Mathematik Klasse 11 18 Aufgaben

AnalysisAbleitungenPotenzregel

Ein Faktor bleibt beim Ableiten stehen, eine Summe wird Glied für Glied abgeleitet, und ein konstanter Summand fällt weg: (2x³ − 3x² + 4x − 7)′ = 6x² − 6x + 4. Produkte aus x-Termen leitet man nach dem Ausmultiplizieren ab. Der Abschnitt räumt die typischen Fehler aus: den Faktor wegfallen lassen, die Konstante behalten, die Ableitungen von Klammern multiplizieren (Orton 1983). Er bereitet Tangenten, Sachaufgaben und die Untersuchung ganzrationaler Funktionen vor.

Faktor und Summe

Die Funktion $x^{3} - 3 x$ ist keine einzelne Potenz: Vor dem x steht ein Faktor, und sie hat zwei Glieder. Zuerst der Faktor. Die Figur streckt $x^{2}$ mit einem Faktor c zu $c \cdot x^{2}$ und vergleicht die Tangenten an der Stelle 1.

Ändere den Faktor c. Wie hängt der Chip f′(1) von c ab? Vergleiche ihn jedes Mal mit der gestrichelten Tangente von x².

Bei $c = 2$ zeigt der Chip 4, bei $c = 3$ zeigt er 6: immer c-mal die Steigung 2, die $x^{2}$ bei 1 hat. Der Differenzenquotient sagt, warum. Jede Höhe ist mit c gestreckt, also auch jeder Höhenunterschied: $\frac{c \cdot f ( x + h ) - c \cdot f ( x )}{h} = c \cdot \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$ , und für $h \to 0$ bleibt $c \cdot f^{'} (x)$ . Das ist die Faktorregel: $(c \cdot f)^{'} = c \cdot f^{'}$ . So ist $(3 x^{2})^{'} = 3 \cdot 2 x = 6 x$ .

Bei einer Summe teilt sich der Höhenunterschied genauso auf: Der Differenzenquotient von $f + g$ ist der von f plus der von g. Für $h \to 0$ folgt die Summenregel: $(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}$ , man leitet Glied für Glied ab. So ist $(x^{3} + 4 x)^{'} = 3 x^{2} + 4$ . Zusammen mit der Potenzregel lässt sich jede ganzrationale Funktion ableiten:

$f (x) f^{'} (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 7 = 6 x^{2} - 6 x + 4$

Term für Term wird $2 x^{3}$ zu $6 x^{2}$ , $- 3 x^{2}$ zu $- 6 x$ und $4 x$ zu 4; die Konstante −7 fällt weg. Damit lässt sich die kubische Funktion ableiten: $(x^{3} - 3 x)^{'} = 3 x^{2} - 3$ . Bei 2 gibt das $3 \cdot 4 - 3 = 9$ , bei 0 den Wert −3, bei ±1 den Wert 0: genau die Punkte, die dort an den Steigungsdreiecken abgelesen wurden. Auch die Kurve aus dem Kurs zu Sekanten, $f (x) = 0, 5 (x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1)$ , ausmultipliziert $0, 5 x^{3} - 1, 5 x^{2} + x + 0, 5$ , hat jetzt in einer Zeile $f^{'} (x) = 1, 5 x^{2} - 3 x + 1$ und $f^{'} (2) = 6 - 6 + 1 = 1$ , dieselbe Zahl, die dort der Grenzübergang lieferte.

Konstanten und Klammern

Ein konstanter Summand fällt beim Ableiten weg: $(x^{2} + 5)^{'} = 2 x$ . Die 5 verschiebt den Graphen nur nach oben. Die Höhe ändert sich, die Steigung an jeder Stelle nicht.

Verschiebe den Graphen mit d. Welcher der beiden Chips verändert sich, welcher nicht?

Vorsicht bei Klammern: Für $f (x) = (x + 1) (x - 2)$ multiplizierst du zuerst aus, $f (x) = x^{2} - x - 2$ , und leitest dann Glied für Glied ab: $f^{'} (x) = 2 x - 1$ . Die Ableitungen der beiden Klammern einzeln zu multiplizieren, $1 \cdot 1 = 1$ , ist falsch: Bei $x = 0$ fällt der Graph mit $f^{'} (0) = - 1$ , er steigt nicht mit 1.

Die Faktorregel gilt nur für Zahlen als Faktoren. Ein Produkt wie $x \cdot x^{2}$ fasst du erst zu $x^{3}$ zusammen und leitest dann ab: $3 x^{2}$ . Für $x^{3} - 3 x$ ist damit die Steigung an jeder Stelle bekannt, bei 2 zum Beispiel 9. Wie lautet die Gleichung der Tangente dort?

Voraussetzungen (1)

Die Potenzregel

Klasse 11

›

Ermöglicht (3)

Änderungsraten im Sachzusammenhang

Die Tangentengleichung

Klasse 11

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Wie lautet die Ableitung von f(x) = 4x³?

● 12x²
○ 3x²
○ 12x³

Der Faktor 4 bleibt stehen, x³ wird zu 3x²: 4 · 3x² = 12x². „3x²“ lässt den Faktor wegfallen, „12x³“ vergisst, den Exponenten zu senken.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt die Graphen von f(x) = x² und g(x) = 3x² mit ihren Tangenten bei x = 1. Wievielmal so steil wie die Tangente an f ist die Tangente an g?

● 3-mal so steil
○ 9-mal so steil
○ gleich steil

f′(1) = 2 und g′(1) = 3 · 2 = 6, also ist die Tangente an g dreimal so steil. Der Faktor 3 bleibt beim Ableiten stehen, er wird nicht quadriert.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Wie lautet die Ableitung von f(x) = x³ + x²?

● 3x² + 2x
○ 6x³
○ 3x² + x²

Jedes Glied wird für sich abgeleitet: (x³)′ = 3x², (x²)′ = 2x. Die Summe der Ableitungen ist 3x² + 2x. „6x³“ multipliziert die Ableitungen, „3x² + x²“ leitet nur ein Glied ab.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Die abgebildete Tangente an den Graphen von f(x) = x² + x im Punkt P(1 | 2) hat die Steigung 3.

✓ Wahr

f′(x) = 2x + 1, also f′(1) = 3. Die Tangente durch P(1 | 2) mit der Steigung 3 ist y = 3x − 1.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Wie lautet die Ableitung von f(x) = x² + 9?

● 2x
○ 2x + 9
○ x²

Ein konstanter Summand fällt beim Ableiten weg: (x² + 9)′ = 2x + 0. „2x + 9“ behält die 9, „x²“ leitet gar nicht ab.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Die Graphen von f(x) = x² und g(x) = x² + 3 (Abbildung) haben an der Stelle x = 1 dieselbe Steigung.

✓ Wahr

g entsteht aus f durch Verschieben um 3 nach oben. Die Steigungen ändern sich dabei nicht: f′(1) = g′(1) = 2.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = x² + c hat für jede Zahl c an der Stelle x = 2 die Steigung 4 + c.

✓ Falsch

f′(x) = 2x, egal wie c gewählt ist: Die Konstante c fällt weg, und f′(2) = 4 für jedes c.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Wie lautet die Ableitung von f(x) = x(x + 3)?

● 2x + 3
○ 1
○ x + 3

Erst ausmultiplizieren: f(x) = x² + 3x, dann Glied für Glied ableiten: 2x + 3. „1“ multipliziert die Ableitungen der Klammern (1 · 1), „x + 3“ leitet nur den ersten Faktor ab.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Wie lautet f(x) = (x + 2)² ausmultipliziert, sodass man Glied für Glied ableiten kann?

● x² + 4x + 4
○ x² + 4
○ x² + 2x + 4

Binomische Formel: (x + 2)² = x² + 4x + 4. Daraus folgt f′(x) = 2x + 4. „x² + 4“ lässt das Mischglied weg.

Mittel

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Berechne f′(2) für f(x) = 3x².

✓ Antwort: 12

f′(x) = 3 · 2x = 6x, also f′(2) = 12.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

Ergänze: (x³ − x²)′ = 3x² − ___

✓ Antwort: 2x

Glied für Glied: (x³)′ = 3x² und (x²)′ = 2x.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Berechne f′(1) für f(x) = 3x² + 8.

✓ Antwort: 6

f′(x) = 6x, der Summand 8 fällt weg. f′(1) = 6.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Berechne f′(1) für f(x) = x(x + 5).

✓ Antwort: 7

f(x) = x² + 5x, also f′(x) = 2x + 5 und f′(1) = 7.

Schwer

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Die Tangente an f(x) = 4x² hat an der Stelle x₀ die Steigung 24. Bestimme x₀.

✓ Antwort: 3

f′(x) = 8x. Aus 8x₀ = 24 folgt x₀ = 3.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Berechne f′(2) für f(x) = x³ − 6x.

✓ Antwort: 6

f′(x) = 3x² − 6, also f′(2) = 12 − 6 = 6.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Wie steil ist der Graph von g(x) = x³ − 100 an der Stelle x = 2?

✓ Antwort: 12

g′(x) = 3x², die −100 fällt weg. g′(2) = 12.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Berechne f′(1) für f(x) = (x + 2)(x − 3).

✓ Antwort: 1

f(x) = x² − x − 6, also f′(x) = 2x − 1 und f′(1) = 1.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Leite f(x) = 2x³ − 3x² + 4x − 7 ab und bestimme alle Stellen, an denen der Graph von f die Steigung 4 hat. Gib auch die zugehörigen Punkte des Graphen an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: f′(x) = 6x² − 6x + 4. Aus f′(x) = 4 folgt 6x² − 6x = 0, also 6x(x − 1) = 0 und x = 0 oder x = 1. Punkte: f(0) = −7, also (0 | −7), und f(1) = 2 − 3 + 4 − 7 = −4, also (1 | −4).

Faktor- und Summenregel liefern f′(x) = 6x² − 6x + 4. Die Bedingung f′(x) = 4 führt auf 6x(x − 1) = 0, also zwei Stellen; die Höhen folgen aus f.