Der Graph von f′
Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = x³ − 3x und drei Punkte. In welchem Punkt ist f′ negativ?
Erklärung: f′ ist negativ, wo der Graph fällt. Bei B fällt der Graph (zwischen dem Hochpunkt und dem Tiefpunkt), bei A und C steigt er.
Der Graph von f(x) = x³ − 3x fällt zwischen x = −1 und x = 1. Dann ist f′(0) negativ.
Erklärung: Fällt der Graph, hat er negative Steigung. Tatsächlich ist f′(0) = 3 · 0² − 3 = −3.
Für f(x) = x³ − 3x ist f(−0,5) = 1,375 und damit positiv. Deshalb ist auch f′(−0,5) positiv.
Erklärung: Das Vorzeichen von f sagt nichts über f′. Bei x = −0,5 fällt der Graph, f′(−0,5) = 3 · 0,25 − 3 = −2,25.
Fällt der Graph von f an einer Stelle, so ist dort f′(x) ___ (positiv oder negativ).
Erklärung: Fallen heißt negative Steigung, also f′(x) < 0.
Der Graph von f(x) = x³ − 3x hat bei x = −1 einen Hochpunkt und bei x = 1 einen Tiefpunkt. Für wie viele der Stellen −2; −0,5; 0,5 und 2 ist f′ negativ?
Erklärung: Zwischen dem Hochpunkt und dem Tiefpunkt fällt der Graph, dort ist f′ negativ, also bei −0,5 und 0,5. Bei −2 und 2 steigt er, dort ist f′ positiv. Es sind zwei Stellen.
Die Abbildung zeigt den Graphen von f mit dem Hochpunkt H und dem Tiefpunkt T. Bei welchen Stellen hat f′ Nullstellen?
Erklärung: f′ hat dort Nullstellen, wo der Graph von f waagerechte Tangenten hat: im Hochpunkt (x = −1) und im Tiefpunkt (x = 1). Die Nullstellen von f selbst (0 und ±1,7) sind nicht gemeint.
Der Graph von f schneidet die x-Achse bei x = 0. Dann ist auch f′(0) = 0.
Erklärung: Eine Nullstelle von f hat mit f′ nichts zu tun. Bei x = 0 fällt der Graph, die Tangente ist nicht waagerecht: f′(0) = −3.
Der Graph von f hat einen Hochpunkt H(−2 | 4) und einen Tiefpunkt T(3 | −1). An welchen Stellen hat f′ Nullstellen?
Erklärung: Gesucht sind die x-Werte der Punkte mit waagerechter Tangente: −2 und 3. Die Werte 4 und −1 sind die Höhen f(−2) und f(3).
Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f′. Bei welcher positiven Stelle hat der Graph von f eine waagerechte Tangente?
Erklärung: Waagerechte Tangente heißt f′ = 0. Der Graph von f′ schneidet die x-Achse bei x = −1 und x = 1; die positive Stelle ist x = 1.
Für f(x) = x³ − 12x ist f′(x) = 3x² − 12. Bei welcher positiven Stelle hat der Graph von f eine waagerechte Tangente?
Erklärung: Waagerecht heißt f′(x) = 0: 3x² − 12 = 0, also x² = 4 und x = 2 (positiv).
Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = x³ − 3x und drei weitere Kurven. Welche Kurve ist der Graph von f′?
Erklärung: Der Graph von f′ liegt über der x-Achse, wo f steigt (x < −1 und x > 1), und unter ihr, wo f fällt; seine Nullstellen sind die Stellen mit waagerechter Tangente, x = ±1. Das trifft nur auf Kurve b zu: a hat das Vorzeichen vertauscht, c die Nullstellen von f übernommen.
Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = x³ − 3x mit den Punkten P und Q. In welchem Punkt ist der Graph betragsmäßig steiler?
Erklärung: Bei Q steigt der Graph mit f′(2) = 9, bei P fällt er nur mit f′(0) = −3. Der Betrag 9 ist größer als 3, also ist f in Q steiler.
Der Graph von f ist die Gerade y = 2x + 1. Wie sieht der Graph von f′ aus?
Erklärung: Eine Gerade hat überall dieselbe Steigung 2, also liegt f′ überall in der Höhe 2: eine waagerechte Gerade. f′ ist keine Kopie von f.
Die Tangente an den Graphen von f hat an einer Stelle die Gleichung y = 4x − 3. Auf welcher Höhe liegt an dieser Stelle der Graph von f′?
Erklärung: Die Höhe von f′ ist die Steigung von f: Die Tangente hat die Steigung 4, also ist f′ = 4.
Die Tangente an den Graphen von f(x) = x³ − 3x im Punkt (2 | 2) hat die Steigung 9. Wie hoch liegt der Graph von f′ über der Stelle x = 2?
Erklärung: Die Höhe von f′ über einer Stelle ist die Steigung von f dort, also f′(2) = 9. Die 2 ist die Höhe von f, nicht von f′.
Von einer Funktion f ist bekannt: Ihr Graph steigt für x < −2, fällt zwischen x = −2 und x = 2 und steigt für x > 2; bei x = 0 fällt er am steilsten. Skizziere den Graphen von f′ und begründe Nullstellen, Vorzeichen und den tiefsten Punkt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Nullstellen von f′ liegen bei den waagerechten Tangenten (±2), das Vorzeichen folgt aus Steigen und Fallen von f, und die Höhe von f′ ist die Steigung von f: am kleinsten, wo f am steilsten fällt.