Der Graph von f′

The graph of f′

Mathematik Klasse 11 16 Aufgaben
AnalysisAbleitungenGraphen

Aus dem Graphen von f lässt sich der Graph von f′ begründet ablesen: Wo f steigt, liegt f′ über der x-Achse, wo f fällt, darunter, und an Hoch- und Tiefpunkten mit waagerechter Tangente hat f′ Nullstellen. Die Höhe von f′ ist die Steigung von f: Je steiler f, desto weiter liegt f′ von der Achse entfernt. Der Abschnitt räumt aus, dass f′ dieselbe Form wie f habe oder die Nullstellen von f erbe (Asiala u. a. 1997). Er bereitet Monotonie und Extremstellen der Kurvendiskussion vor.

Vorzeichen und Nullstellen

Für gibt es noch keinen Term für f′. In der Figur geschieht trotzdem dasselbe wie bei der Parabel: Der Chip misst die Steigung der Tangente in P, und Q trägt sie als Höhe ein und hinterlässt die Spur der Ableitungsfunktion f′.

Fahre mit P von −2 aus über den Graphen von f, bis die Spur von f′ fertig ist. Wann liegt Q über der x-Achse, wann darunter, und wann genau darauf?

Q liegt über der x-Achse, solange der Graph von f steigt, und darunter, solange er fällt. Bei liegt ein Hochpunkt, bei ein Tiefpunkt. Beide Male ist die Tangente waagerecht, der Chip zeigt , und Q sitzt auf der x-Achse: In einem Hoch- oder Tiefpunkt hat f′ eine Nullstelle.

Vorsicht: Bei liegt der Graph von f unter der x-Achse (), aber entscheidend ist, dass er dort fällt: . Die Nullstellen von f (bei 0 und ) sagen nichts über die von f′. Auf Papier gibt es keinen Chip. Wie entsteht die Spur ohne ihn?

Den Graphen skizzieren

Eine Skizze von f′ entsteht in drei Schritten, jeder mit einem Blick auf f: erst die Stellen mit waagerechter Tangente (dort hat f′ Nullstellen), dann das Vorzeichen (steigt oder fällt f?), zuletzt die Steilheit an einigen Stellen, abgelesen an einem Steigungsdreieck mit 1 nach rechts.

Gehe mit dem Regler Schritt für Schritt vor. Welche Punkte von f′ kennst du nach Schritt 1, ohne etwas zu messen? Zähle in Schritt 2 am Gitter ab, wie weit jedes Dreieck nach oben oder unten führt.

Nach Schritt 1 stehen zwei Punkte von f′ fest, und . Zwischen ihnen fällt f, also liegt f′ dort unter der Achse; links und rechts davon steigt f, also liegt f′ darüber. Die Dreiecke liefern die Steigung: Bei fällt f mit der Steigung −3, bei steigt f mit der Steigung 9 und bei genauso. Die fünf Punkte ergeben eine Parabel.

Der Graph von f′ ist also keine verkleinerte Kopie von f. Eine Kopie hätte ihre Nullstellen bei 0 und , wo f die Achse schneidet; f′ hat sie bei ±1, unter dem Hoch- und dem Tiefpunkt. Alle diese Kurven sind glatt. Hat jeder Graph an jeder Stelle eine Tangente?

Voraussetzungen (1)

Von der Zahl zur Funktion
Klasse 11
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = x³ − 3x und drei Punkte. In welchem Punkt ist f′ negativ?

  • ● B
  • ○ A
  • ○ C
f′ ist negativ, wo der Graph fällt. Bei B fällt der Graph (zwischen dem Hochpunkt und dem Tiefpunkt), bei A und C steigt er.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = x³ − 3x fällt zwischen x = −1 und x = 1. Dann ist f′(0) negativ.

✓ Wahr
Fällt der Graph, hat er negative Steigung. Tatsächlich ist f′(0) = 3 · 0² − 3 = −3.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Für f(x) = x³ − 3x ist f(−0,5) = 1,375 und damit positiv. Deshalb ist auch f′(−0,5) positiv.

✓ Falsch
Das Vorzeichen von f sagt nichts über f′. Bei x = −0,5 fällt der Graph, f′(−0,5) = 3 · 0,25 − 3 = −2,25.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den Graphen von f mit dem Hochpunkt H und dem Tiefpunkt T. Bei welchen Stellen hat f′ Nullstellen?

  • ● x = −1 und x = 1
  • ○ x = −1,7, x = 0 und x = 1,7
  • ○ x = 0
f′ hat dort Nullstellen, wo der Graph von f waagerechte Tangenten hat: im Hochpunkt (x = −1) und im Tiefpunkt (x = 1). Die Nullstellen von f selbst (0 und ±1,7) sind nicht gemeint.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Der Graph von f schneidet die x-Achse bei x = 0. Dann ist auch f′(0) = 0.

✓ Falsch
Eine Nullstelle von f hat mit f′ nichts zu tun. Bei x = 0 fällt der Graph, die Tangente ist nicht waagerecht: f′(0) = −3.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Der Graph von f hat einen Hochpunkt H(−2 | 4) und einen Tiefpunkt T(3 | −1). An welchen Stellen hat f′ Nullstellen?

  • ● x = −2 und x = 3
  • ○ x = 4 und x = −1
  • ○ x = −2 und x = −1
Gesucht sind die x-Werte der Punkte mit waagerechter Tangente: −2 und 3. Die Werte 4 und −1 sind die Höhen f(−2) und f(3).
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = x³ − 3x und drei weitere Kurven. Welche Kurve ist der Graph von f′?

  • ● Kurve b
  • ○ Kurve a
  • ○ Kurve c
Der Graph von f′ liegt über der x-Achse, wo f steigt (x < −1 und x > 1), und unter ihr, wo f fällt; seine Nullstellen sind die Stellen mit waagerechter Tangente, x = ±1. Das trifft nur auf Kurve b zu: a hat das Vorzeichen vertauscht, c die Nullstellen von f übernommen.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = x³ − 3x mit den Punkten P und Q. In welchem Punkt ist der Graph betragsmäßig steiler?

  • ● in Q
  • ○ in P
  • ○ in beiden gleich steil
Bei Q steigt der Graph mit f′(2) = 9, bei P fällt er nur mit f′(0) = −3. Der Betrag 9 ist größer als 3, also ist f in Q steiler.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Der Graph von f ist die Gerade y = 2x + 1. Wie sieht der Graph von f′ aus?

  • ● eine waagerechte Gerade bei y = 2
  • ○ die Gerade y = 2x
  • ○ die Gerade y = 2x + 1
Eine Gerade hat überall dieselbe Steigung 2, also liegt f′ überall in der Höhe 2: eine waagerechte Gerade. f′ ist keine Kopie von f.
Mittel
Lückentext #1 20s ▶ Testen

Fällt der Graph von f an einer Stelle, so ist dort f′(x) ___ (positiv oder negativ).

✓ Antwort: negativ
Fallen heißt negative Steigung, also f′(x) < 0.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f′. Bei welcher positiven Stelle hat der Graph von f eine waagerechte Tangente?

✓ Antwort: 1
Waagerechte Tangente heißt f′ = 0. Der Graph von f′ schneidet die x-Achse bei x = −1 und x = 1; die positive Stelle ist x = 1.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Die Tangente an den Graphen von f hat an einer Stelle die Gleichung y = 4x − 3. Auf welcher Höhe liegt an dieser Stelle der Graph von f′?

✓ Antwort: 4
Die Höhe von f′ ist die Steigung von f: Die Tangente hat die Steigung 4, also ist f′ = 4.
Schwer
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = x³ − 3x hat bei x = −1 einen Hochpunkt und bei x = 1 einen Tiefpunkt. Für wie viele der Stellen −2; −0,5; 0,5 und 2 ist f′ negativ?

✓ Antwort: 2
Zwischen dem Hochpunkt und dem Tiefpunkt fällt der Graph, dort ist f′ negativ, also bei −0,5 und 0,5. Bei −2 und 2 steigt er, dort ist f′ positiv. Es sind zwei Stellen.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Für f(x) = x³ − 12x ist f′(x) = 3x² − 12. Bei welcher positiven Stelle hat der Graph von f eine waagerechte Tangente?

✓ Antwort: 2
Waagerecht heißt f′(x) = 0: 3x² − 12 = 0, also x² = 4 und x = 2 (positiv).
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Die Tangente an den Graphen von f(x) = x³ − 3x im Punkt (2 | 2) hat die Steigung 9. Wie hoch liegt der Graph von f′ über der Stelle x = 2?

✓ Antwort: 9
Die Höhe von f′ über einer Stelle ist die Steigung von f dort, also f′(2) = 9. Die 2 ist die Höhe von f, nicht von f′.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Von einer Funktion f ist bekannt: Ihr Graph steigt für x < −2, fällt zwischen x = −2 und x = 2 und steigt für x > 2; bei x = 0 fällt er am steilsten. Skizziere den Graphen von f′ und begründe Nullstellen, Vorzeichen und den tiefsten Punkt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Bei x = −2 (Hochpunkt) und x = 2 (Tiefpunkt) sind die Tangenten waagerecht, also hat f′ dort Nullstellen. Für x < −2 und x > 2 steigt f, also liegt f′ über der x-Achse; zwischen −2 und 2 fällt f, also liegt f′ unter der x-Achse. Bei x = 0 fällt f am steilsten, dort hat f′ den kleinsten Wert: Der Graph von f′ ist eine nach oben geöffnete Kurve mit Nullstellen bei ±2 und dem Tiefpunkt bei x = 0.
Nullstellen von f′ liegen bei den waagerechten Tangenten (±2), das Vorzeichen folgt aus Steigen und Fallen von f, und die Höhe von f′ ist die Steigung von f: am kleinsten, wo f am steilsten fällt.