Knick und Sprung
Für f(x) = |x| hat die Sekante durch (0 | 0) und (0,5 | 0,5) die Steigung 1 und die Sekante durch (0 | 0) und (−0,5 | 0,5) die Steigung −1. Was folgt für f′(0)?
Erklärung: Von rechts nähern sich die Sekantensteigungen 1, von links −1. Es gibt keinen gemeinsamen Grenzwert, also keine Tangente und kein f′(0). Der Mittelwert 0 ist kein Ersatz.
Der Graph von g(x) = |x − 2| + 1 hat bei x = 2 einen Knick. Dort besitzt g eine Tangente.
Erklärung: Am Knick unterscheiden sich die Steigungen links (−1) und rechts (1) der Stelle. Es gibt keinen gemeinsamen Grenzwert der Sekantensteigungen, also keine Tangente.
An welcher Stelle ist h(x) = |x + 3| nicht differenzierbar?
Erklärung: Der Knick liegt dort, wo der Betrag null wird: x + 3 = 0, also x = −3. Der Term x + 3 verschiebt die Betragsfunktion nach links, nicht nach rechts.
Für f(x) = |x| haben alle Sekanten durch den Ursprung und einen Punkt links davon dieselbe Steigung. Welche?
Erklärung: Für h < 0 ist (|h| − 0)/h = −h/h = −1.
Sei g(x) = |x − 2| + 1. Berechne die Differenz aus dem Differenzenquotienten mit h = 0,25 und dem mit h = −0,25 an der Stelle 2: (g(2,25) − g(2))/0,25 − (g(1,75) − g(2))/(−0,25).
Erklärung: g(2) = 1. Rechts: (1,25 − 1)/0,25 = 1. Links: (1,25 − 1)/(−0,25) = −1. Die Differenz ist 1 − (−1) = 2, die beiden Seiten stimmen nicht überein.
Die Abbildung zeigt eine Funktion f. Beide Äste haben die Steigung 0,5, an der Stelle x = 2 springt der Graph nach oben. Was gilt bei x = 2?
Erklärung: Beide Äste sind gleich steil, aber der Graph reißt bei x = 2 ab. Über den Sprung hinweg wächst der Differenzenquotient über jede Grenze, es gibt keine Tangente.
Die Funktion mit f(x) = −1 für x < 0 und f(x) = 1 für x ≥ 0 ist bei x = 0 nicht differenzierbar.
Erklärung: Der Graph springt bei x = 0 von −1 auf 1. Wo f einen Sprung hat, ist f nicht stetig und darum nicht differenzierbar.
Welche dieser Funktionen ist bei x = 0 nicht differenzierbar?
Erklärung: Die erste Funktion springt bei x = 0 von 0 auf 1. x² und x³ haben bei 0 die waagerechte Tangente f′(0) = 0; eine flache Stelle ist kein Knick.
Eine Funktion mit Sprungstelle ist dort nicht stetig und deshalb nicht ___.
Erklärung: Ohne Stetigkeit gibt es keine Tangente: Ein Sprung macht die Funktion nicht differenzierbar.
Für die abgebildete Funktion (f(x) = 0,5x für x ≤ 2 und f(x) = 0,5x + 3 für x > 2) ist f(2) = 1. Berechne den Differenzenquotienten (f(2,1) − f(2))/0,1.
Erklärung: f(2,1) = 1,05 + 3 = 4,05. Also (4,05 − 1)/0,1 = 30,5. Mit kleinerem h wird der Quotient noch größer: Er wächst über jede Grenze.
Welche Aussage passt zur Funktion f(x) = |x| an der Stelle x = 0?
Erklärung: Der Graph von |x| hat bei 0 keinen Sprung, ist dort also stetig. Der Knick verhindert die Tangente, also ist f nicht differenzierbar.
Die abgebildete Funktion (x² für x ≤ 1, danach die Gerade 2x − 1) ist an der Stelle x = 1 differenzierbar.
Erklärung: Beide Äste treffen sich in (1 | 1) und haben dort die Steigung 2: bei x² ist f′(1) = 2, die Gerade hat die Steigung 2. Der Übergang ist glatt, es gibt eine Tangente.
Der Graph von g(x) = |x − 2| + 1 hat weder Sprung noch Lücke, also ist g an jeder Stelle differenzierbar.
Erklärung: Stetig genügt nicht: Bei x = 2 hat g einen Knick, dort gibt es keine Tangente.
An wie vielen Stellen ist f(x) = |x| nicht differenzierbar?
Erklärung: Nur bei x = 0, im Knick. Überall sonst ist f′(x) = 1 oder f′(x) = −1.
Die Abbildung zeigt den Graphen von k(x) = |x² − 1|. An wie vielen Stellen ist k nicht differenzierbar?
Erklärung: Die Stücke x² − 1 und 1 − x² treffen sich bei x = −1 und x = 1 unter einem Knick. Dort ist k stetig, aber nicht differenzierbar.
Zeige mit dem Differenzenquotienten, dass g(x) = |x − 2| + 1 an der Stelle x = 2 nicht differenzierbar ist: Betrachte h > 0 und h < 0 getrennt und gib die beiden Grenzwerte an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Rechts und links der Stelle 2 liefert der Differenzenquotient verschiedene Werte (1 und −1), also gibt es keinen Grenzwert und keine Tangente.