Knick und Sprung

Corner and jump

Mathematik Klasse 11 16 Aufgaben

AnalysisDifferentiationDifferenzierbarkeit

Eine Funktion ist an einer Stelle differenzierbar, wenn der Differenzenquotient von beiden Seiten denselben Grenzwert hat, also eine Tangente existiert. Am Knick der Betragsfunktion sind die beiden Grenzwerte 1 und −1, an einem Sprung wächst der Quotient über jede Grenze. Der Abschnitt räumt aus, dass Stetigkeit für die Ableitung genügt oder der Mittelwert 0 eine Tangente liefere (Tall und Vinner 1981). Er bereitet vor, dass f′(x₀) = 0 in der Kurvendiskussion nur für differenzierbare Funktionen gilt.

Der Knick

Die Betragsfunktion $f (x) = ∣ x ∣$ gibt den Abstand von 0 an: $∣3∣ = 3$ und $∣ - 3∣ = 3$ , für negative x ist also $∣ x ∣ = - x$ . Ihr Graph hat im Ursprung einen Knick. Gibt es dort eine Tangente? Der Weg ist derselbe wie im Kurs zu Sekanten: eine Sekante durch P₀(0 | 0) und einen zweiten Punkt, dann den Abstand h verkleinern. Neu ist nur, dass der zweite Punkt rechts (P₊ bei h) oder links (P₋ bei −h) liegen kann. In der Figur sind beide Sekanten gezeichnet.

Verkleinere h bis 0,1. Die Sekante nach rechts liegt immer auf dem rechten Ast, die nach links auf dem linken. Was geschieht mit den Chips m₊ und m₋?

Die Chips bleiben stehen: m₊ = 1 und m₋ = −1, egal wie klein $h$ wird. Die Rechnung zeigt den Grund:

$\frac{f ( 0 + h ) - f ( 0 )}{h} = \frac{∣ h ∣}{h} = {1 - 1 h > 0 h < 0$

Die Sekanten von rechts haben immer die Steigung 1, die von links immer −1. Beide Seiten liefern einen anderen Grenzwert, also gibt es keinen gemeinsamen: $f^{'} (0)$ existiert nicht, f ist bei 0 nicht differenzierbar. Der Mittelwert 0 ist kein Ersatz. Überall sonst ist f differenzierbar, mit $f^{'} (x) = 1$ für $x > 0$ und $f^{'} (x) = - 1$ für $x < 0$ .

Allgemein heißt differenzierbar an der Stelle $x_{0}$ : Der Differenzenquotient hat von rechts und von links denselben Grenzwert. Nur dann gibt es eine Tangente, und nur dann kann man die Steigung dort angeben.

Sprung und Stetigkeit

Auch ein Sprung verhindert die Tangente. Die Funktion mit $f (x) = x$ für $x \leq 1$ und $f (x) = x + 1$ für $x > 1$ hat auf beiden Ästen die Steigung 1, aber an der Stelle 1 reißt der Graph ab: $f (1) = 1$ gehört zum linken Ast, der rechte beginnt eine Einheit höher. In der Figur geht es denselben Weg wie beim Knick, mit Sekanten von P₀(1 | 1) nach rechts und nach links.

Beide Äste sind gleich steil. Verkleinere h bis 0,1: Welcher der Chips m₊ und m₋ bleibt stehen, und was macht der andere?

Der Chip m₋ bleibt bei 1, aber m₊ wächst: bei $h = 0, 5$ ist er 3, bei $h = 0, 1$ schon 11. Die Rechnung zeigt den Grund: Von rechts ist der Differenzenquotient $\frac{( 1 + h + 1 ) - 1}{h} = \frac{1 + h}{h}$ , für $h = 0, 01$ also 101, und er wächst über jede Grenze. Es gibt keinen Grenzwert und keine Tangente, obwohl beide Äste gleich steil sind.

Stetig heißt, wie bei den abschnittsweise definierten Funktionen: Der Graph lässt sich ohne Absetzen zeichnen. Wo f einen Sprung hat, ist f nicht stetig und darum nicht differenzierbar. Umgekehrt genügt Stetigkeit nicht: $∣ x ∣$ hat keinen Sprung und ist bei 0 trotzdem nicht differenzierbar. Ein glatter Übergang dagegen ist erlaubt: $x^{2}$ für $x \leq 1$ , danach die Gerade $2 x - 1$ , hat bei 1 auf beiden Seiten die Steigung 2.

Voraussetzungen (1)

Lokale Änderungsrate

Klasse 11

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Für f(x) = |x| hat die Sekante durch (0 | 0) und (0,5 | 0,5) die Steigung 1 und die Sekante durch (0 | 0) und (−0,5 | 0,5) die Steigung −1. Was folgt für f′(0)?

● f′(0) existiert nicht.
○ f′(0) = 0.
○ f′(0) = 1.

Von rechts nähern sich die Sekantensteigungen 1, von links −1. Es gibt keinen gemeinsamen Grenzwert, also keine Tangente und kein f′(0). Der Mittelwert 0 ist kein Ersatz.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Der Graph von g(x) = |x − 2| + 1 hat bei x = 2 einen Knick. Dort besitzt g eine Tangente.

✓ Falsch

Am Knick unterscheiden sich die Steigungen links (−1) und rechts (1) der Stelle. Es gibt keinen gemeinsamen Grenzwert der Sekantensteigungen, also keine Tangente.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

An welcher Stelle ist h(x) = |x + 3| nicht differenzierbar?

● x = −3
○ x = 3
○ x = 0

Der Knick liegt dort, wo der Betrag null wird: x + 3 = 0, also x = −3. Der Term x + 3 verschiebt die Betragsfunktion nach links, nicht nach rechts.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt eine Funktion f. Beide Äste haben die Steigung 0,5, an der Stelle x = 2 springt der Graph nach oben. Was gilt bei x = 2?

● f ist bei x = 2 nicht differenzierbar.
○ f ist bei x = 2 differenzierbar mit f′(2) = 0,5.
○ f ist bei x = 2 differenzierbar mit f′(2) = 0.

Beide Äste sind gleich steil, aber der Graph reißt bei x = 2 ab. Über den Sprung hinweg wächst der Differenzenquotient über jede Grenze, es gibt keine Tangente.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Die Funktion mit f(x) = −1 für x < 0 und f(x) = 1 für x ≥ 0 ist bei x = 0 nicht differenzierbar.

✓ Wahr

Der Graph springt bei x = 0 von −1 auf 1. Wo f einen Sprung hat, ist f nicht stetig und darum nicht differenzierbar.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Welche dieser Funktionen ist bei x = 0 nicht differenzierbar?

● f(x) = x für x < 0 und f(x) = x + 1 für x ≥ 0
○ f(x) = x²
○ f(x) = x³

Die erste Funktion springt bei x = 0 von 0 auf 1. x² und x³ haben bei 0 die waagerechte Tangente f′(0) = 0; eine flache Stelle ist kein Knick.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welche Aussage passt zur Funktion f(x) = |x| an der Stelle x = 0?

● stetig, aber nicht differenzierbar
○ differenzierbar, aber nicht stetig
○ weder stetig noch differenzierbar

Der Graph von |x| hat bei 0 keinen Sprung, ist dort also stetig. Der Knick verhindert die Tangente, also ist f nicht differenzierbar.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Die abgebildete Funktion (x² für x ≤ 1, danach die Gerade 2x − 1) ist an der Stelle x = 1 differenzierbar.

✓ Wahr

Beide Äste treffen sich in (1 | 1) und haben dort die Steigung 2: bei x² ist f′(1) = 2, die Gerade hat die Steigung 2. Der Übergang ist glatt, es gibt eine Tangente.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Der Graph von g(x) = |x − 2| + 1 hat weder Sprung noch Lücke, also ist g an jeder Stelle differenzierbar.

✓ Falsch

Stetig genügt nicht: Bei x = 2 hat g einen Knick, dort gibt es keine Tangente.

Mittel

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Für f(x) = |x| haben alle Sekanten durch den Ursprung und einen Punkt links davon dieselbe Steigung. Welche?

✓ Antwort: -1

Für h < 0 ist (|h| − 0)/h = −h/h = −1.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

Eine Funktion mit Sprungstelle ist dort nicht stetig und deshalb nicht ___.

✓ Antwort: differenzierbar

Ohne Stetigkeit gibt es keine Tangente: Ein Sprung macht die Funktion nicht differenzierbar.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

An wie vielen Stellen ist f(x) = |x| nicht differenzierbar?

✓ Antwort: 1

Nur bei x = 0, im Knick. Überall sonst ist f′(x) = 1 oder f′(x) = −1.

Schwer

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Sei g(x) = |x − 2| + 1. Berechne die Differenz aus dem Differenzenquotienten mit h = 0,25 und dem mit h = −0,25 an der Stelle 2: (g(2,25) − g(2))/0,25 − (g(1,75) − g(2))/(−0,25).

✓ Antwort: 2

g(2) = 1. Rechts: (1,25 − 1)/0,25 = 1. Links: (1,25 − 1)/(−0,25) = −1. Die Differenz ist 1 − (−1) = 2, die beiden Seiten stimmen nicht überein.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Für die abgebildete Funktion (f(x) = 0,5x für x ≤ 2 und f(x) = 0,5x + 3 für x > 2) ist f(2) = 1. Berechne den Differenzenquotienten (f(2,1) − f(2))/0,1.

✓ Antwort: 30.5

f(2,1) = 1,05 + 3 = 4,05. Also (4,05 − 1)/0,1 = 30,5. Mit kleinerem h wird der Quotient noch größer: Er wächst über jede Grenze.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den Graphen von k(x) = |x² − 1|. An wie vielen Stellen ist k nicht differenzierbar?

✓ Antwort: 2

Die Stücke x² − 1 und 1 − x² treffen sich bei x = −1 und x = 1 unter einem Knick. Dort ist k stetig, aber nicht differenzierbar.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Zeige mit dem Differenzenquotienten, dass g(x) = |x − 2| + 1 an der Stelle x = 2 nicht differenzierbar ist: Betrachte h > 0 und h < 0 getrennt und gib die beiden Grenzwerte an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: g(2) = 1. Für h > 0 ist g(2 + h) = h + 1 und der Quotient (h + 1 − 1)/h = 1. Für h < 0 ist g(2 + h) = |h| + 1 = −h + 1 und der Quotient (−h)/h = −1. Von rechts ist der Grenzwert 1, von links −1: Es gibt keinen gemeinsamen Grenzwert, g ist bei x = 2 nicht differenzierbar.

Rechts und links der Stelle 2 liefert der Differenzenquotient verschiedene Werte (1 und −1), also gibt es keinen Grenzwert und keine Tangente.