Lokale Änderungsrate
Von f(x) = x² sind bekannt: f(3) = 9, f′(3) = 6 und die mittlere Änderungsrate auf [0; 3] ist 3. Wie steil ist der Graph genau an der Stelle x = 3?
Erklärung: Die Steilheit an einer Stelle ist die lokale Änderungsrate f′(3) = 6. Die 9 ist die Höhe f(3) des Graphen, die 3 die mittlere Steigung zwischen 0 und 3.
Der Graph von f(x) = x² hat an der Stelle x = 3 die Tangentensteigung 9.
Erklärung: Die 9 ist die Höhe f(3) = 9. Die Tangentensteigung ist f′(3) = 6, der Grenzwert von 6 + h für h → 0.
Der Graph einer Funktion f verläuft durch den Punkt P(2 | 5) und hat dort die Steigung 1,5. Welche Angaben gelten für f?
Erklärung: Der Punkt (2 | 5) liefert f(2) = 5, die Höhe an der Stelle 2. Die Steigung 1,5 ist f′(2). Vertauscht man Höhe und Steigung oder Stelle und Wert, entstehen die beiden anderen Aussagen.
Der Graph einer Funktion f hat im Punkt (4 | 16) die Tangentensteigung 8. Wie groß ist f(4)?
Erklärung: Der Funktionswert f(4) ist die Höhe des Punktes (4 | 16), also 16. Die 8 ist die Steigung f′(4).
Die Abbildung zeigt den Graphen von f und die Tangente im Punkt P(2 | 5). Lies die Steigung f′(2) am Gitter ab.
Erklärung: Von P(2 | 5) geht die Tangente über (3 | 8) weiter: 1 nach rechts, 3 nach oben. Also ist f′(2) = 3.
Für eine Funktion f gilt f′(1) = −2. Was folgt für den Graphen an der Stelle x = 1?
Erklärung: Die Steigung −2 ist negativ, der Graph fällt. Ob er über oder unter der x-Achse liegt, sagt f(1), nicht f′(1).
Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = x² und drei Punkte. In welchem Punkt ist f′ negativ?
Erklärung: f′ ist negativ, wo der Graph fällt: links vom Scheitelpunkt, also in A. In B ist die Tangente waagerecht (f′ = 0), in C steigt der Graph.
Ist f′(4) = 0, so verläuft die Tangente im Punkt (4 | f(4)) waagerecht.
Erklärung: Steigung 0 heißt: Die Tangente steigt und fällt nicht, sie ist waagerecht.
Die Tangente im Punkt (x₀ | f(x₀)) verläuft waagerecht. Welchen Wert hat dort f′(x₀)?
Erklärung: Eine waagerechte Gerade hat die Steigung 0, also ist f′(x₀) = 0.
Für f(x) = x² gilt f′(−2) = −4, f′(0) = 0, f′(1) = 2 und f′(3) = 6. An wie vielen dieser vier Stellen steigt der Graph von f?
Erklärung: Der Graph steigt dort, wo f′ positiv ist: bei x = 1 und x = 3. Bei x = −2 fällt er, bei x = 0 ist die Tangente waagerecht.