Lokale Änderungsrate

Höhe und Steigung

Der Kurs zu Sekanten endete mit einer Zahl. Die Sekanten durch einen Punkt P und einen Nachbarpunkt im Abstand $h$ nähern sich für $h\to 0$ der Tangente in P, und ihr Differenzenquotient nähert sich der Zahl $f^{\prime }(x_0)$, gesprochen „f Strich von x₀“. Bei $f(x)=x^2$ und $x_0=3$ lief die Rechnung so: $\frac{(3+h{)}^2-9}{h}=\frac{6h+h^2}{h}=6+h$, und für $h\to 0$ bleibt $f^{\prime }(3)=6$.

Bei $x_0=3$ zeigen die Chips $f(3)=9$ und $f^{\prime }(3)=6$. Die 9 ist die Höhe von P über der x-Achse, die 6 die Steigung der Tangente: Ein Schritt 1 nach rechts führt auf ihr 6 nach oben. Diese Zahl heißt lokale Änderungsrate: wie schnell der Graph von f genau an dieser Stelle steigt, so wie der Tacho die Geschwindigkeit genau jetzt zeigt.

Die beiden Zahlen zu verwechseln, ist der häufigste Fehler. Eine Gerade durch P mit der Steigung 9 statt 6 berührt die Parabel nicht: Sie schneidet sie ein zweites Mal, bei $x=6$. Am Punkt P zählen also drei Zahlen: die Stelle $x_0$ (wie weit rechts), die Höhe $f(x_0)$ (wie weit oben) und die Steigung $f^{\prime }(x_0)$ (wie geneigt die Tangente ist). Nur die dritte ist eine Ableitung.

Steigt oder fällt?

Links vom Scheitel zeigt der Chip negative Steigungen: bei $x_0=-1$ ist $f^{\prime }(-1)=-2$, obwohl die Höhe $f(-1)=1$ positiv ist. Ist $f^{\prime }(x_0)>0$, steigt der Graph an dieser Stelle, bei $f^{\prime }(x_0)<0$ fällt er, und bei $f^{\prime }(x_0)=0$ verläuft die Tangente waagerecht, wie im Scheitel (0 | 0) der Parabel. Ob der Graph über oder unter der x-Achse liegt, sagt $f(x_0)$, nicht $f^{\prime }(x_0)$.

Jede dieser Zahlen kostete bisher eine eigene h-Rechnung: eine bei 3, eine zweite bei −1. Der Tacho zeigt aber in jedem Augenblick einen Wert. Gibt es eine Regel, die zu jeder Stelle die Steigung liefert?