Die Potenzregel
Wie lautet die Ableitung von f(x) = x⁵?
Erklärung: Potenzregel: (xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹, hier n = 5, also 5 · x⁴. „4x⁵“ vertauscht Faktor und Exponent, „x⁴“ senkt nur den Exponenten und vergisst den Faktor 5.
Die Tangente an den Graphen von g(x) = x⁴ im Punkt (1 | 1) ist steiler als die Tangente an den Graphen von f(x) = x³ im Punkt (1 | 1).
Erklärung: g′(1) = 4 · 1³ = 4 und f′(1) = 3 · 1² = 3. Die Tangente an x⁴ ist steiler.
Welche Funktion hat die Ableitung 6x⁵?
Erklärung: Aus (xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹ folgt (x⁶)′ = 6x⁵. Bei 6x⁶ bliebe nach dem Ableiten ein Faktor 36, und x⁵ hat die Ableitung 5x⁴.
Ergänze: (x⁷)′ = 7x^___
Erklärung: Der Exponent sinkt um 1: 7 − 1 = 6.
Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = x⁴ und den Punkt P bei x = 2. Berechne die Steigung der Tangente in P.
Erklärung: f′(x) = 4x³, also f′(2) = 4 · 8 = 32. Die Höhe von P ist f(2) = 16, nicht die Steigung.
Für f(x) = x ist f′(5) gleich …
Erklärung: Die Gerade y = x hat überall die Steigung 1, also f′(5) = 1. Die 5 ist der Funktionswert f(5).
Die abgebildete Gerade y = x + 2 hat an jeder Stelle die Steigung 1.
Erklärung: Eine Gerade hat überall dieselbe Steigung, hier 1. Der Summand 2 verschiebt sie nur nach oben; (x + 2)′ = 1.
Der Graph von f ist die abgebildete waagerechte Gerade in der Höhe 4. Wie lautet f′(x)?
Erklärung: Eine waagerechte Gerade steigt nirgends, ihre Steigung ist überall 0. Die 4 ist die Höhe, nicht die Steigung.
Für die konstante Funktion f(x) = 12 gilt f′(4) = ?
Erklärung: Für jede Konstante ist die Ableitung 0.
Der Graph einer Funktion f ist eine Gerade durch die Punkte (0 | 0) und (1 | 1). Welchen Wert hat f′(17)?
Erklärung: Die Gerade durch (0 | 0) und (1 | 1) ist y = x. Eine Gerade hat an jeder Stelle die Steigung 1, also f′(17) = 1.
Der Differenzenquotient von f(x) = x³ ist ((x + h)³ − x³) / h. Wie lautet er nach dem Kürzen von h?
Erklärung: Der Zähler ist 3x²h + 3xh² + h³ = h · (3x² + 3xh + h²). Nach dem Kürzen bleibt 3x² + 3xh + h². Ohne Kürzen stünde noch der Faktor h davor.
Für x = 2 und h = 1 gilt (x + h)³ = x³ + h³.
Erklärung: (2 + 1)³ = 27, aber 2³ + 1³ = 9. Die Mischglieder 3x²h + 3xh² fehlen.
Der gekürzte Differenzenquotient von x³ ist 3x² + 3xh + h². Wogegen läuft er für h → 0?
Erklärung: Die Terme mit h werden für h → 0 zu 0, es bleibt 3x². Setzt man h = 1 ein, entsteht die Zahl 3x² + 3x + 1, das ist kein Grenzübergang.
(x + h)⁴ = x⁴ + a · x³h + 6x²h² + 4xh³ + h⁴. Bestimme a.
Erklärung: Der Koeffizient von x³h ist 4 (Binomialkoeffizient „4 über 1“); daher (x⁴)′ = 4x³.
Berechne den Differenzenquotienten (f(2,1) − f(2)) / 0,1 für f(x) = x³ (auf 0,01 genau).
Erklärung: 2,1³ = 9,261, also (9,261 − 8) / 0,1 = 12,61. Der Wert liegt knapp über f′(2) = 12: mit 3x² + 3xh + h² = 12 + 0,6 + 0,01.
Leite mit dem Differenzenquotienten her, dass (x⁴)′ = 4x³ gilt. Benutze (x + h)⁴ = x⁴ + 4x³h + 6x²h² + 4xh³ + h⁴, kürze h und lass h gegen 0 gehen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Das x⁴ hebt sich weg, der Faktor h lässt sich aus allen Gliedern kürzen, und für h → 0 bleibt nur 4x³.