Die Potenzregel

Das Muster

Für $x^3-3x$ fehlt noch ein Term, und die h-Rechnung für jede neue Funktion von vorn zu beginnen, kostet jedes Mal eine Seite. Zuerst die Potenz allein. Bei der Parabel ergab der Differenzenquotient von $x^2$ den Term $2x+h$. Für $f(x)=x^3$ braucht man $(x+h{)}^3=(x+h{)}^2\cdot (x+h)$. Das Quadrat liefert die binomische Formel, $(x+h{)}^2=x^2+2xh+h^2$, und Ausmultiplizieren mit $(x+h)$ ergibt $(x+h{)}^3=x^3+3x^{2}h+3x{h}^2+h^3$. Probe mit $x=2$ und $h=1$: $3^3=27$ und $8+12+6+1=27$.

$$\begin{array}{rl}\frac{(x+h{)}^3-x^3}{h}& =\frac{3x^{2}h+3x{h}^2+h^3}{h}\\ & =3x^2+3xh+h^2⟶3x^2(h\to 0)\end{array}$$

Vorsicht: Es ist nicht $(x+h{)}^3=x^3+h^3$ (bei 2 und 1 wären das 9 statt 27); gerade die Mischglieder liefern die Ableitung. Für $x=2$ und $h=0,1$ hat der Quotient den Wert $12+0,6+0,01=12,61$, für $h\to 0$ bleibt $3\cdot 2^2=12$. Dieselbe Rechnung für $x^4$ ergibt:

In jeder Zeile wandert der Exponent als Faktor vor das x, und der neue Exponent ist um 1 kleiner. Das Muster heißt Potenzregel:

$$(x^n{)}^{\prime }=n\cdot x^{n-1}$$

x und Konstanten

Zwei Sonderfälle fehlen noch in der Tabelle: die Gerade $y=x$ und eine waagerechte Gerade wie $y=3$.

In der Figur zeigt der Chip auf $y=x$ überall die Steigung 1, auf der waagerechten Geraden überall 0. Die Regel sagt dasselbe: $f(x)=x=x^1$ gibt $(x{)}^{\prime }=1\cdot x^0=1$, denn jede Potenz mit dem Exponenten 0 ist 1 (wie $5^0=1$). Eine konstante Funktion wie $f(x)=3$ hat überall die Steigung 0: $(3{)}^{\prime }=0$, für jede Konstante. Beim Ableiten bleibt die Konstante nicht stehen, sie wird zu 0.

Damit lassen sich alle Potenzen mit ganzzahligen Exponenten ab 1 ableiten: $(x^{10}{)}^{\prime }=10x^9$, $(x^2{)}^{\prime }=2x$, $(x{)}^{\prime }=1$. Rückwärts gelesen: Welche Potenz hat die Ableitung $6x^5$? Der Exponent ist um 1 größer, also 6, und der Faktor 6 entsteht von selbst: $(x^6{)}^{\prime }=6x^5$, nicht $6x^6$. Eine Funktion wie $x^3-3x$ ist aber keine einzelne Potenz: Sie hat einen Faktor 3 und zwei Glieder.