Die Tangentengleichung
FĂźr f(x) = xÂł â 3x an der Stelle xâ = 2 sind f(2) = 2 und fâ˛(2) = 9. Durch welchen Punkt geht die Tangente, und welche Steigung hat sie?
Erklärung: Der BerĂźhrpunkt ist (xâ | f(xâ)) = (2 | 2), die Steigung ist fâ˛(2) = 9. Die Antworten mit vertauschten Zahlen mischen HĂśhe, Steigung und Stelle durcheinander.
Die Tangente an f(x) = x² im Punkt (5 | 25) hat die Steigung 25.
Erklärung: Die 25 ist die HĂśhe f(5). Die Steigung ist fâ˛(5) = 2 ¡ 5 = 10.
Der Graph von f hat bei x = â1 einen Hochpunkt H(â1 | 2). Wie verläuft dort die Tangente?
Erklärung: Im Hochpunkt ist die Tangente waagerecht (Steigung 0) und geht durch den BerĂźhrpunkt (â1 | 2), also y = 2. Die HĂśhe 2 ist nicht die Steigung.
FĂźr f(x) = x² â 4x soll die Tangente bei xâ = 3 aufgestellt werden. Wie hoch liegt der BerĂźhrpunkt, also wie groĂ ist f(3)?
Erklärung: f(3) = 9 â 12 = â3. Der BerĂźhrpunkt ist (3 | â3).
Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = x² â 4x und den Punkt P bei x = 3. Bestimme die Steigung der Tangente in P.
Erklärung: fâ˛(x) = 2x â 4, also fâ˛(3) = 2. Die Tangente steigt leicht, obwohl P unterhalb der x-Achse liegt.
FĂźr f(x) = x² gilt f(3) = 9 und fâ˛(3) = 6. Wie lautet die Gleichung der Tangente bei xâ = 3?
Erklärung: t(x) = fâ˛(xâ) ¡ (x â xâ) + f(xâ) = 6(x â 3) + 9 = 6x â 9. ây = 6x + 9â vergisst die Verschiebung um xâ, ây = 9(x â 3) + 6â vertauscht HĂśhe und Steigung.
Die abgebildete Tangente an f(x) = xÂł â 3x im Punkt (2 | 2) hat die Gleichung y = 9x â 16.
Erklärung: fâ˛(2) = 9 und f(2) = 2: t(x) = 9(x â 2) + 2 = 9x â 16. Kontrolle: t(2) = 18 â 16 = 2.
Die Tangente an f(x) = x² bei xâ = 1 hat die Gleichung y = 2x.
Erklärung: Die Steigung ist fâ˛(1) = 2, aber die Tangente geht durch (1 | 1): t(x) = 2(x â 1) + 1 = 2x â 1. Die Gerade y = 2x geht durch (1 | 2).
Die Tangente an f(x) = x² bei xâ = 5 hat die Form y = 10x + t. Bestimme den y-Achsenabschnitt t.
Erklärung: Der BerĂźhrpunkt ist (5 | 25). Aus 25 = 10 ¡ 5 + t folgt t = â25.
Die Tangente an f(x) = x² â 4x bei xâ = 3 schneidet die y-Achse bei y = ?
Erklärung: f(3) = â3, fâ˛(3) = 2: t(x) = 2(x â 3) â 3 = 2x â 9. Bei x = 0 ist t(0) = â9.
Eine Tangente hat die Steigung 1. Welchen Steigungswinkel hat sie?
Erklärung: tan Îą = 1 gibt Îą = 45°. Steigung und Winkel sind verschiedene GrĂśĂen; 1° wäre eine fast waagerechte Gerade.
Bei einer Steigung von 100 % beträgt der Steigungswinkel 45°.
Erklärung: 100 % bedeutet m = 1, und tanâťÂš(1) = 45°.
Eine StraĂe mit 50 % Steigung hat einen Steigungswinkel von 50°.
Erklärung: 50 % bedeutet m = 0,5 und Îą = tanâťÂš(0,5) â 26,6°. Prozent und Grad sind verschiedene Skalen.
Berechne Îą = tanâťÂš(1,5) auf 0,1° genau.
Erklärung: tanâťÂš(1,5) â 56,31°, gerundet 56,3°.
Welchen Steigungswinkel hat die Tangente an f(x) = x² bei xâ = 2? Gib ihn auf 0,1° genau an.
Erklärung: fâ˛(2) = 4, also Îą = tanâťÂš(4) â 75,96°, gerundet 76,0°.
Bestimme fĂźr f(x) = xÂł â 3x die Gleichung der Tangente an der Stelle xâ = 2 und die GrĂśĂe ihres Steigungswinkels (auf 0,1° genau): BerĂźhrpunkt, Steigung, Tangentengleichung, Winkel. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: BerĂźhrpunkt und Steigung sind zwei Zahlen: f(2) = 2 und fâ˛(2) = 9. Die Punkt-Steigungs-Form gibt y = 9x â 16, der Winkel folgt aus tan Îą = 9.