Die Tangentengleichung

Die Tangente aufstellen

Die Regeln liefern für $f(x)=x^3-3x$ die Steigung an jeder Stelle, bei 2 zum Beispiel $f^{\prime }(2)=9$. Eine Tangente ist aber eine Gerade, und für ihre Gleichung $y=m\cdot x+t$ braucht es außer der Steigung einen Punkt. Aus einem Punkt und der Steigung bekommst du t wie im Kurs zu Sekanten: $t=y_0-m\cdot x_0$ (dort mit P₀(1 | 0,5) und m = 1,5: t = 0,5 − 1,5 · 1 = −1). Bei der Tangente ist der Punkt der Berührpunkt $(x_0\mid f(x_0))$, und die Steigung ist $m=f^{\prime }(x_0)$.

Bei $x_0=2$ ist $f(2)=8-6=2$ und $f^{\prime }(2)=3\cdot 4-3=9$. Dann ist $t=2-9\cdot 2=-16$, die Tangente lautet $y=9x-16$. Punktprobe: $9\cdot 2-16=2=f(2)$. Vorsicht: $y=9x+2$ wäre falsch, denn die Höhe 2 gehört zum Punkt bei x = 2 und nicht zur Stelle x = 0; in der Figur trifft die Tangente die y-Achse bei −16.

Setzt man $t=f(x_0)-f^{\prime }(x_0)\cdot x_0$ allgemein ein und klammert $f^{\prime }(x_0)$ aus, entsteht die Punkt-Steigungs-Form. Die Tangente selbst heißt dabei oft t; dann ist t ihr Name, nicht ihr y-Achsenabschnitt:

$$t(x)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0)$$

Im Beispiel: $t(x)=9(x-2)+2$, ausmultipliziert wieder $9x-16$.

Der Steigungswinkel

Der Steigungswinkel α einer Geraden ist der Winkel zwischen ihr und der x-Achse. Im Steigungsdreieck mit 1 nach rechts und m nach oben ist m die Gegenkathete von α und 1 die Ankathete. Der Tangens aus der Trigonometrie, Gegenkathete durch Ankathete, ergibt also $\tan \alpha =m:1=m$, und damit $\alpha ={\tan }^{-1}(m)$. Steigung 1 bedeutet 45°, Steigung 2 etwa 63,4°. Für die Tangente gilt $\alpha ={\tan }^{-1}(f^{\prime }(x_0))$; im Beispiel ist ${\tan }^{-1}(9)\approx 83,7°$: Die Tangente bei 2 steht fast senkrecht.

Vorsicht: Steigung und Winkel sind verschiedene Größen. Eine Steigung von 100 % (m = 1) entspricht 45°, nicht 100°.

Am Taschenrechner steht die Taste tan⁻¹ (Gradmodus). Eine Straße mit 8 % Steigung, also $m=0,08$, hat nur einen Winkel von etwa 4,6°.