Von der Zahl zur Funktion
Für f(x) = x² ist f′(x) = 2x. Wie groß ist f′(5)?
Erklärung: Man setzt in die Ableitungsfunktion ein: f′(5) = 2 · 5 = 10. Die 25 wäre der Funktionswert f(5), die 2 ein Fehler beim Einsetzen.
Für f(x) = x² ist f′(−3) = −6.
Erklärung: f′(−3) = 2 · (−3) = −6: Links vom Scheitelpunkt fällt der Graph, die Steigung ist negativ.
Welche Gerade ist der Graph der Ableitungsfunktion f′ von f(x) = x²?
Erklärung: Die Spur von Q über jeder Stelle x ist die Gerade y = 2x, also f′(x) = 2x. y = x² wäre f selbst, y = 2 eine konstante Steigung.
Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f′ einer Funktion f. Lies f′(3) ab.
Erklärung: Über x = 3 liegt der Graph von f′ in der Höhe 6, also ist f′(3) = 6: An der Stelle 3 hat der Graph von f die Steigung 6.
Bei f(x) = x² beträgt die Steigung an einer Stelle x₀ genau 14. Bestimme x₀.
Erklärung: Aus f′(x₀) = 2x₀ = 14 folgt x₀ = 7.
Leite die Ableitungsfunktion von f(x) = x² + x her: Bilde den Differenzenquotienten (f(x + h) − f(x)) / h an einer beliebigen Stelle x, vereinfache und lass h gegen 0 gehen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Im Zähler heben sich x² und x auf, übrig bleiben 2xh + h² + h. Nach dem Teilen durch h ist der Term 2x + h + 1, für h → 0 wird daraus 2x + 1.
Für f(x) = x² ist der Differenzenquotient an einer beliebigen Stelle x gleich ((x + h)² − x²) / h. Welcher Term bleibt nach dem Kürzen von h?
Erklärung: Der Zähler ist (x + h)² − x² = 2xh + h². Geteilt durch h bleibt 2x + h. Bei 2x + h² wurde h² nicht durch h geteilt, 2xh + h² ist der Zähler ohne das Teilen.
Für f(x) = x² hat der gekürzte Differenzenquotient 2x + h bei x = 3 und h = 0,1 den Wert 6,1.
Erklärung: 2 · 3 + 0,1 = 6,1. Für h → 0 bleibt f′(3) = 6, die Steigung der Tangente bei 3.
Für f(x) = x² gilt ((x + h)² − x²) / h = 2x + h. Für h → 0 wird daraus f′(x) = ___
Erklärung: Der Summand h geht gegen 0, übrig bleibt 2x. Das ist die Gerade, die die Spur von Q zeichnet.
Für f(x) = 3x² ist der Differenzenquotient an einer beliebigen Stelle x nach dem Kürzen 6x + 3h. Wie groß ist f′(2)?
Erklärung: Für h → 0 bleibt f′(x) = 6x, also f′(2) = 6 · 2 = 12. Wer h = 1 einsetzt, bekommt 15, das ist die Steigung einer Sekante.