Von der Zahl zur Funktion

Die Spur der Steigungen

Die Zahl $f^{\prime }(x_0)$ hängt davon ab, wo P sitzt: bei 3 ist sie 6, bei −1 ist sie −2. Trage über jeder Stelle $x_0$ die Steigung $f^{\prime }(x_0)$ als Höhe ein. So entsteht ein zweiter Punkt Q senkrecht über oder unter P, mit den Koordinaten $(x_0\mid f^{\prime }(x_0))$. Beim Verschieben hinterlässt er eine Spur.

Die Spur ist eine Gerade durch den Ursprung. Die Chips liefern $f^{\prime }(-2)=-4$, $f^{\prime }(0)=0$, $f^{\prime }(1)=2$ und $f^{\prime }(2)=4$: jedes Mal das Doppelte der Stelle. Sitzt P im Scheitel, liegt Q auf der x-Achse; links davon fällt der Graph von f, und Q liegt unter der Achse.

Aus vielen einzelnen Zahlen ist damit eine Funktion geworden. Die Zuordnung $x\mapsto f^{\prime }(x)$, die jeder Stelle die Steigung von f dort zuordnet, heißt Ableitungsfunktion $f^{\prime }$, gesprochen „f Strich“. Für $f(x)=x^2$ ist $f^{\prime }(x)=2x$. Mit der Variablen x ist $f^{\prime }(x)$ eine Funktion; mit einer Zahl, etwa $f^{\prime }(3)=6$, ist es einer ihrer Werte. Der Graph von f′ ist nicht der Graph von f: Über der Stelle 3 liegt Q in der Höhe 6, P in der Höhe 9.

Die Rechnung an jeder Stelle

Abgelesen ist noch nicht gezeigt, denn die Chips springen in Schritten von 0,5. Die h-Rechnung vom Anfang liefert dieselbe Gerade, wenn statt 3 eine beliebige Stelle $x$ eingesetzt wird:

$$\begin{array}{rl}\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}& =\frac{2xh+h^2}{h}\\ & =2x+h⟶2x(h\to 0)\end{array}$$

Also ist $f^{\prime }(x)=2x$ an jeder Stelle, nicht nur an den abgelesenen. Probe bei $x=3$: $2\cdot 3=6$, die Zahl vom Anfang. Für $x^2$ gibt es damit einen Term für f′. Für eine Kurve wie $x^3-3x$ fehlt er noch. Lässt sich ihre Spur trotzdem zeichnen?