Ähnliche Figuren
Ein Rechteck hat die Seiten 3 cm und 6 cm. Welches Rechteck ist dazu ähnlich?
Erklärung: Ähnlich heißt: gleiche Seitenverhältnisse (alle Winkel sind bei Rechtecken ohnehin 90°). 3 : 6 = 6 : 12 = 1 : 2. Bei 5 × 8 wurde jede Seite um 2 cm verlängert (5 : 8 = 0,625), bei 6 × 9 nur eine Seite verdoppelt (6 : 9 ≈ 0,67).
Ein Quadrat und eine schiefe Raute haben je vier gleich lange Seiten. Deshalb sind sie ähnlich.
Erklärung: Alle Seitenverhältnisse sind 1 : 1, aber die Winkel stimmen nicht überein: Das Quadrat hat vier rechte Winkel, die schiefe Raute keinen. Ähnlich braucht gleiche Winkel und gleiche Seitenverhältnisse.
Ein Rechteck mit den Seiten 3 cm und 5 cm wird zu einem ähnlichen Rechteck vergrößert. Dessen kurze Seite ist 9 cm lang. Wie lang ist die lange Seite (in cm)?
Erklärung: k = 9 : 3 = 3, also ist die lange Seite 5 cm · 3 = 15 cm.
Ein Rechteck ist 12 cm breit und 8 cm hoch. Ein ähnliches Rechteck ist 9 cm breit. Wie hoch ist es (in cm)?
Erklärung: k = 9 : 12 = 0,75 (eine Verkleinerung). Die Höhe ist 8 cm · 0,75 = 6 cm; die Seitenverhältnisse bleiben gleich: 12 : 8 = 9 : 6.
Eine Strecke von 4 cm hat als Bild eine Strecke von 10 cm. Wie groß ist der Ähnlichkeitsfaktor k?
Erklärung: k = Bildlänge : Originallänge = 10 : 4 = 2,5. Die 6 ist die Differenz 10 − 4 (Addieren statt Multiplizieren), die 0,4 der umgekehrte Quotient 4 : 10.
Wird eine Seite von 3 cm zu 4,5 cm, so ist der Ähnlichkeitsfaktor k = 1,5.
Erklärung: k = Bildlänge : Originallänge = 4,5 : 3 = 1,5. Jede andere Seite wird dann ebenfalls mit 1,5 multipliziert, nicht um 1,5 cm verlängert.
Eine Seite ist 8 cm lang, ihre Bildseite 12 cm. Wie groß ist k?
Erklärung: k = 12 : 8 = 1,5.
Das Dreieck mit a = 2 cm, b = 3 cm und c = 4 cm wird mit k = 2,5 vergrößert. Wie lang ist die längste Seite des Bildes (in cm)?
Erklärung: Die längste Seite ist c = 4 cm, das Bild ist 4 cm · 2,5 = 10 cm lang. Alle Seiten werden mit k multipliziert: 5 cm, 7,5 cm, 10 cm.
Ein Dreieck hat die Winkel 50° und 60°. Welches Dreieck ist zu ihm ähnlich?
Erklärung: Das gegebene Dreieck hat die Winkel 50°, 60° und 70°. Das Dreieck mit 50° und 70° hat den dritten Winkel 60°, es hat also dieselben drei Winkel. Bei 50° und 80° ist der dritte Winkel 50°, bei 60° und 60° ist er 60°: Da passen nicht beide.
Zwei Dreiecke, die in einem Winkel von 40° übereinstimmen, sind ähnlich.
Erklärung: Ein gleicher Winkel genügt nicht: Ein Dreieck mit 40°, 60°, 80° und eines mit 40°, 70°, 70° haben je einen Winkel von 40°, sind aber nicht ähnlich.
Sind die beiden Dreiecke ähnlich?
Erklärung: In ABC ist γ = 180° − 45° − 75° = 60°, in DEF ist ζ = 180° − 75° − 45° = 60°. Beide Dreiecke haben die Winkel 45°, 75° und 60° – nur in anderer Reihenfolge. Auf die Buchstaben kommt es nicht an, sondern darauf, dass alle Winkel zusammenpassen.
Zwei Dreiecke stimmen in α = 48° und β = 67° überein. Wie groß ist γ in beiden Dreiecken (in °)?
Erklärung: γ = 180° − 48° − 67° = 65°. Weil die Winkelsumme gleich ist, ist der dritte Winkel in beiden Dreiecken gleich.
Die Dreiecke ABC und DEF sind ähnlich. In ABC ist α = 40° und β = 75°. In DEF ist δ = 65° und ε = 75°. Wie groß ist ζ in DEF (in °)?
Erklärung: In ABC ist γ = 180° − 40° − 75° = 65°. In DEF sind δ = 65° und ε = 75°, also ist ζ = 180° − 65° − 75° = 40°. Beide Dreiecke haben die Winkel 40°, 65° und 75°.
Ein Dreieck hat die Seiten 3 cm, 5 cm und 6 cm. Welches Dreieck ist zu ihm ähnlich?
Erklärung: 6 : 3 = 10 : 5 = 12 : 6 = 2: alle drei Quotienten sind gleich. Bei 5, 7, 8 wurden 2 cm addiert (5 : 3, 7 : 5 und 8 : 6 sind verschieden). Bei 6, 10, 13 stimmen nur zwei Quotienten, denn 13 : 6 ≈ 2,17.
Die Dreiecke ABC und DEF sind ähnlich. Tippe die Seite von DEF, die der Seite AC entspricht.
Erklärung: AC = 5 cm ist die mittlere Seite von ABC (3,5 < 5 < 6). Die mittlere Seite von DEF ist FD = 10 cm. Es ist k = 10 : 5 = 2, und auch 7 : 3,5 = 12 : 6 = 2. Entsprechende Seiten liegen den gleichen Winkeln gegenüber, nicht der gleichen Lage im Bild.
Ein Dreieck hat die Seiten 4 cm, 6 cm und 9 cm. Ein ähnliches Dreieck hat die kürzeste Seite 6 cm. Wie lang ist seine längste Seite (in cm)?
Erklärung: k = 6 : 4 = 1,5 (kürzeste mit kürzester Seite). Die längste Seite ist 9 cm · 1,5 = 13,5 cm.
Ein Dreieck hat die Seiten 6 cm, 8 cm und 10 cm. Ein ähnliches Dreieck hat den Umfang 60 cm. Wie lang ist seine kürzeste Seite (in cm)?
Erklärung: Der Umfang des ersten Dreiecks ist 6 + 8 + 10 = 24 cm. k = 60 : 24 = 2,5. Die kürzeste Seite ist 6 cm · 2,5 = 15 cm.
Ein Dreieck hat die Seiten 4,5 cm, 6 cm und 7,5 cm, ein zweites die Seiten 6 cm, 8 cm und 10 cm. Prüfe, ob die Dreiecke ähnlich sind: Ordne die Seiten, schreibe die drei Quotienten auf und gib gegebenenfalls den Ähnlichkeitsfaktor an.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Man ordert die Seiten und vergleicht kürzeste mit kürzester, mittlere mit mittlerer und längste mit längster Seite. Alle drei Quotienten sind 4/3, also sind die Dreiecke ähnlich.