Ähnliche Figuren

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Mathematik Klasse 9 18 Aufgaben
GeometrieÄhnlichkeit

Zwei Figuren sind ähnlich, wenn alle Winkel übereinstimmen und alle Längen im gleichen Verhältnis stehen; der Ähnlichkeitsfaktor k ist der Quotient Bildlänge : Originallänge. Bei Dreiecken genügen zwei gleiche Winkel oder drei gleiche Seitenverhältnisse. Räumt zwei Verwechslungen aus: dass man durch Addieren einer festen Länge vergrößert (3, 4, 5 wird 5, 6, 7) und dass gleiche Winkel schon bei Vierecken Ähnlichkeit bedeuten (Rechtecke 2 × 4 und 2 × 8). Bereitet die zentrische Streckung, die Strahlensätze und in der Trigonometrie die Aussage vor: gleiche Winkel, gleiche Seitenverhältnisse.

Gleiche Form, andere Größe

Ein Kopierer vergrößert ein Foto auf 150 %. Das Bild wird größer, bleibt aber dasselbe Bild: Nichts wird verzerrt. Zwei Figuren, die so auseinander hervorgehen, heißen ähnlich. Sie stimmen in allen Winkeln überein, und alle Längen stehen im gleichen Verhältnis.

Beides gehört zusammen. Ein Rechteck mit 2 cm × 4 cm und eines mit 2 cm × 8 cm haben nur rechte Winkel, sehen aber verschieden aus: Ihre Seitenverhältnisse 1 : 2 und 1 : 4 sind nicht gleich. Die beiden Rechtecke sind nicht ähnlich.

Verändere den Faktor k. Was bleibt bei der Kopie gleich, und was ändert sich?

Der Ähnlichkeitsfaktor

Wie stark vergrößert wurde, sagt der Ähnlichkeitsfaktor k. Man erhält ihn als Quotient zweier zugehöriger Strecken:

Ist eine Seite 3 cm lang und ihr Bild 4,5 cm, so ist . Jede Bildstrecke ist dann 1,5-mal so lang wie ihre Originalstrecke. Man vergrößert durch Multiplizieren, nicht durch Addieren: Zu den Seiten 2 cm, 3 cm und 4 cm einfach 2 cm hinzuzugeben ergibt 4, 5 und 6 – kein ähnliches Dreieck. Mit k = 2 werden es 4, 6 und 8.

Ändere k und vergleiche die Quotienten mit den Unterschieden der Seitenlängen.

Dreiecke prüfen

Bei Dreiecken genügt eine von zwei Prüfungen. Winkel: Stimmen zwei Winkel überein, ist wegen der Winkelsumme von 180° auch der dritte gleich, und die Dreiecke sind ähnlich. Seiten: Sind alle drei Seitenverhältnisse gleich, sind die Dreiecke ebenfalls ähnlich. Dabei vergleicht man die kürzeste mit der kürzesten und die längste mit der längsten Seite.

Beispiel: Die Dreiecke mit 3, 4, 5 und 6, 8, 10 haben die Verhältnisse 6 : 3 = 8 : 4 = 10 : 5 = 2 und sind ähnlich. Bei 3, 4, 5 und 5, 6, 7 ergeben 5 : 3, 6 : 4 und 7 : 5 drei verschiedene Werte – nicht ähnlich.

Stelle den Winkel β′ so ein, dass beide Dreiecke ähnlich sind, und beobachte die Seitenverhältnisse.

Voraussetzungen (1)

Verhältnistabelle und Dreisatz
Klasse 5
›

Ermöglicht (3)

Anwendungen am rechtwinkligen Dreieck
Klasse 9
›
Die zentrische Streckung
Klasse 9
›
Länge, Fläche, Volumen
Klasse 9
›
Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Ein Rechteck hat die Seiten 3 cm und 6 cm. Welches Rechteck ist dazu ähnlich?

  • ● 6 cm × 12 cm
  • ○ 5 cm × 8 cm
  • ○ 6 cm × 9 cm
Ähnlich heißt: gleiche Seitenverhältnisse (alle Winkel sind bei Rechtecken ohnehin 90°). 3 : 6 = 6 : 12 = 1 : 2. Bei 5 × 8 wurde jede Seite um 2 cm verlängert (5 : 8 = 0,625), bei 6 × 9 nur eine Seite verdoppelt (6 : 9 ≈ 0,67).
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Ein Quadrat und eine schiefe Raute haben je vier gleich lange Seiten. Deshalb sind sie ähnlich.

✓ Falsch
Alle Seitenverhältnisse sind 1 : 1, aber die Winkel stimmen nicht überein: Das Quadrat hat vier rechte Winkel, die schiefe Raute keinen. Ähnlich braucht gleiche Winkel und gleiche Seitenverhältnisse.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Eine Strecke von 4 cm hat als Bild eine Strecke von 10 cm. Wie groß ist der Ähnlichkeitsfaktor k?

  • ● 2,5
  • ○ 6
  • ○ 0,4
k = Bildlänge : Originallänge = 10 : 4 = 2,5. Die 6 ist die Differenz 10 − 4 (Addieren statt Multiplizieren), die 0,4 der umgekehrte Quotient 4 : 10.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Wird eine Seite von 3 cm zu 4,5 cm, so ist der Ähnlichkeitsfaktor k = 1,5.

✓ Wahr
k = Bildlänge : Originallänge = 4,5 : 3 = 1,5. Jede andere Seite wird dann ebenfalls mit 1,5 multipliziert, nicht um 1,5 cm verlängert.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Ein Dreieck hat die Winkel 50° und 60°. Welches Dreieck ist zu ihm ähnlich?

  • ● Dreieck mit 50° und 70°
  • ○ Dreieck mit 50° und 80°
  • ○ Dreieck mit 60° und 60°
Das gegebene Dreieck hat die Winkel 50°, 60° und 70°. Das Dreieck mit 50° und 70° hat den dritten Winkel 60°, es hat also dieselben drei Winkel. Bei 50° und 80° ist der dritte Winkel 50°, bei 60° und 60° ist er 60°: Da passen nicht beide.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Zwei Dreiecke, die in einem Winkel von 40° übereinstimmen, sind ähnlich.

✓ Falsch
Ein gleicher Winkel genügt nicht: Ein Dreieck mit 40°, 60°, 80° und eines mit 40°, 70°, 70° haben je einen Winkel von 40°, sind aber nicht ähnlich.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Sind die beiden Dreiecke ähnlich?

  • ● ähnlich
  • ○ nicht ähnlich
  • ○ nicht entscheidbar
In ABC ist γ = 180° − 45° − 75° = 60°, in DEF ist ζ = 180° − 75° − 45° = 60°. Beide Dreiecke haben die Winkel 45°, 75° und 60° – nur in anderer Reihenfolge. Auf die Buchstaben kommt es nicht an, sondern darauf, dass alle Winkel zusammenpassen.
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Ein Dreieck hat die Seiten 3 cm, 5 cm und 6 cm. Welches Dreieck ist zu ihm ähnlich?

  • ● 6 cm, 10 cm, 12 cm
  • ○ 5 cm, 7 cm, 8 cm
  • ○ 6 cm, 10 cm, 13 cm
6 : 3 = 10 : 5 = 12 : 6 = 2: alle drei Quotienten sind gleich. Bei 5, 7, 8 wurden 2 cm addiert (5 : 3, 7 : 5 und 8 : 6 sind verschieden). Bei 6, 10, 13 stimmen nur zwei Quotienten, denn 13 : 6 ≈ 2,17.
Im Bild tippen #9 20s ▶ Testen

Die Dreiecke ABC und DEF sind ähnlich. Tippe die Seite von DEF, die der Seite AC entspricht.

✓ Antwort: FD
AC = 5 cm ist die mittlere Seite von ABC (3,5 < 5 < 6). Die mittlere Seite von DEF ist FD = 10 cm. Es ist k = 10 : 5 = 2, und auch 7 : 3,5 = 12 : 6 = 2. Entsprechende Seiten liegen den gleichen Winkeln gegenüber, nicht der gleichen Lage im Bild.
Mittel
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Ein Rechteck mit den Seiten 3 cm und 5 cm wird zu einem ähnlichen Rechteck vergrößert. Dessen kurze Seite ist 9 cm lang. Wie lang ist die lange Seite (in cm)?

✓ Antwort: 15
k = 9 : 3 = 3, also ist die lange Seite 5 cm · 3 = 15 cm.
Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Eine Seite ist 8 cm lang, ihre Bildseite 12 cm. Wie groß ist k?

✓ Antwort: 1.5
k = 12 : 8 = 1,5.
Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Zwei Dreiecke stimmen in α = 48° und β = 67° überein. Wie groß ist γ in beiden Dreiecken (in °)?

✓ Antwort: 65
γ = 180° − 48° − 67° = 65°. Weil die Winkelsumme gleich ist, ist der dritte Winkel in beiden Dreiecken gleich.
Zahleneingabe #4 35s ▶ Testen

Ein Dreieck hat die Seiten 4 cm, 6 cm und 9 cm. Ein ähnliches Dreieck hat die kürzeste Seite 6 cm. Wie lang ist seine längste Seite (in cm)?

✓ Antwort: 13.5
k = 6 : 4 = 1,5 (kürzeste mit kürzester Seite). Die längste Seite ist 9 cm · 1,5 = 13,5 cm.
Schwer
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Ein Rechteck ist 12 cm breit und 8 cm hoch. Ein ähnliches Rechteck ist 9 cm breit. Wie hoch ist es (in cm)?

✓ Antwort: 6
k = 9 : 12 = 0,75 (eine Verkleinerung). Die Höhe ist 8 cm · 0,75 = 6 cm; die Seitenverhältnisse bleiben gleich: 12 : 8 = 9 : 6.
Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Das Dreieck mit a = 2 cm, b = 3 cm und c = 4 cm wird mit k = 2,5 vergrößert. Wie lang ist die längste Seite des Bildes (in cm)?

✓ Antwort: 10
Die längste Seite ist c = 4 cm, das Bild ist 4 cm · 2,5 = 10 cm lang. Alle Seiten werden mit k multipliziert: 5 cm, 7,5 cm, 10 cm.
Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Die Dreiecke ABC und DEF sind ähnlich. In ABC ist α = 40° und β = 75°. In DEF ist δ = 65° und ε = 75°. Wie groß ist ζ in DEF (in °)?

✓ Antwort: 40
In ABC ist γ = 180° − 40° − 75° = 65°. In DEF sind δ = 65° und ε = 75°, also ist ζ = 180° − 65° − 75° = 40°. Beide Dreiecke haben die Winkel 40°, 65° und 75°.
Zahleneingabe #4 35s ▶ Testen

Ein Dreieck hat die Seiten 6 cm, 8 cm und 10 cm. Ein ähnliches Dreieck hat den Umfang 60 cm. Wie lang ist seine kürzeste Seite (in cm)?

✓ Antwort: 15
Der Umfang des ersten Dreiecks ist 6 + 8 + 10 = 24 cm. k = 60 : 24 = 2,5. Die kürzeste Seite ist 6 cm · 2,5 = 15 cm.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Ein Dreieck hat die Seiten 4,5 cm, 6 cm und 7,5 cm, ein zweites die Seiten 6 cm, 8 cm und 10 cm. Prüfe, ob die Dreiecke ähnlich sind: Ordne die Seiten, schreibe die drei Quotienten auf und gib gegebenenfalls den Ähnlichkeitsfaktor an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Seiten der Größe nach geordnet: 4,5 | 6 | 7,5 und 6 | 8 | 10. Quotienten: 6 : 4,5 = 8 : 6 = 10 : 7,5 = 4/3 ≈ 1,33. Alle drei Quotienten sind gleich, also sind die Dreiecke ähnlich, der Ähnlichkeitsfaktor ist k = 4/3.
Man ordert die Seiten und vergleicht kürzeste mit kürzester, mittlere mit mittlerer und längste mit längster Seite. Alle drei Quotienten sind 4/3, also sind die Dreiecke ähnlich.