Der erste Strahlensatz
Die Geraden AB und CD sind parallel. Es ist ZA = 3 cm, ZC = 9 cm und ZB = 4 cm. Wie lang ist ZD?
ErklÀrung: Erster Strahlensatz: ZA : ZC = ZB : ZD, also 3 : 9 = 4 : ZD und ZD = 4 · 9 : 3 = 12 cm. Die 10 cm entstehen durch Addieren (4 + 6), die 8 cm durch ZA : AC = ZB : ZD, also Teil mit Ganzem gemischt (3 : 6 = 4 : 8).
Die Geraden AB und CD sind parallel. Welche Strecke auf dem anderen Strahl entspricht der Strecke ZA?
ErklĂ€rung: ZA und ZB messen beide von Z bis zur ersten Parallelen, ZC und ZD bis zur zweiten. BD ist nur das ZwischenstĂŒck zwischen den Parallelen, und ZD gehört zur zweiten Parallelen, also zu ZC.
Die Geraden AB und CD sind parallel. Es ist ZA = 2 cm, ZC = 5 cm und ZB = 4 cm. Wie lang ist ZD (in cm)?
ErklÀrung: ZA : ZC = ZB : ZD, also 2 : 5 = 4 : ZD und ZD = 4 · 5 : 2 = 10 cm.
Zwei Strahlen von Z werden von den Parallelen AB und CD geschnitten. Es ist ZA = 3 cm, ZB = 5 cm und ZD = 7,5 cm. Wie lang ist ZC (in cm)?
ErklĂ€rung: ZA : ZC = ZB : ZD, also 3 : ZC = 5 : 7,5. Ăber Kreuz: 5 · ZC = 3 · 7,5, also ZC = 22,5 : 5 = 4,5 cm.
Auf zwei Strahlen von Z liegen A, C und B, D mit ZA = 2 cm, ZC = 5 cm und ZB = 3 cm. Bei welcher LĂ€nge von ZD ist CD parallel zu AB?
ErklÀrung: Parallel ist CD nur, wenn ZA : ZC = ZB : ZD gilt: 2 : 5 = 3 : ZD ergibt ZD = 3 · 5 : 2 = 7,5 cm. Die 6 cm entstehen durch Addieren (3 + 3), die 1,2 cm durch den umgekehrten Quotienten (3 · 2 : 5).
In der Figur ist ZA = 2 cm, ZC = 5 cm, ZB = 3 cm und ZD = 6 cm. Dann gilt ZA : ZC = ZB : ZD.
ErklÀrung: ZA : ZC = 2 : 5 = 0,4, aber ZB : ZD = 3 : 6 = 0,5. Die VerhÀltnisse sind verschieden, also ist CD nicht parallel zu AB, und der Strahlensatz darf hier nicht angewendet werden.
Der erste Strahlensatz gilt nur, wenn die beiden Geraden AB und CD ___ sind.
ErklĂ€rung: Nur wenn AB â„ CD gilt, gibt es eine zentrische Streckung von Z aus, die A auf C und B auf D abbildet â und nur dann sind die VerhĂ€ltnisse gleich.
Es ist ZA = 4 cm, ZC = 10 cm und ZB = 5 cm. CD soll parallel zu AB sein. Wie lang muss ZD sein (in cm)?
ErklÀrung: Damit CD parallel zu AB ist, muss 4 : 10 = 5 : ZD gelten. Also ZD = 5 · 10 : 4 = 12,5 cm.
Die Geraden AB und CD sind parallel. Es ist ZA = 4 cm, AC = 6 cm und ZB = 6 cm. Wie lang ist BD?
ErklÀrung: Teil zu Teil: ZA : AC = ZB : BD, also 4 : 6 = 6 : BD und BD = 6 · 6 : 4 = 9 cm. Die 15 cm wÀren ZD, das Ganze (6 + 9). Die 4 cm ergeben sich, wenn man BD : ZB = ZA : AC verkehrt herum ansetzt.
Die Geraden AB und CD sind parallel. Dann gilt ZA : AC = ZB : BD.
ErklÀrung: Links steht Teil zu Teil (ZA : AC), rechts ebenfalls Teil zu Teil (ZB : BD). Das ist das TeilverhÀltnis; falsch wÀre die Mischung ZA : AC = ZB : ZD (Teil zu Ganzem).
Die Geraden AB und CD sind parallel. Es ist ZA = 3 cm, AC = 5 cm und ZB = 4,5 cm. Wie lang ist BD (in cm)?
ErklÀrung: ZA : AC = ZB : BD, also 3 : 5 = 4,5 : BD und BD = 5 · 4,5 : 3 = 7,5 cm.
Die Geraden AB und CD sind parallel. Es ist ZA = 5 cm, AC = 7 cm und BD = 14 cm. Wie lang ist ZB (in cm)?
ErklÀrung: ZA : AC = ZB : BD, also 5 : 7 = ZB : 14 und ZB = 5 · 14 : 7 = 10 cm.
Löse die VerhÀltnisgleichung 4 : 10 = 6 : x. Welcher Wert ist richtig?
ErklĂ€rung: Ăber Kreuz: 4 · x = 10 · 6 = 60, also x = 15. Die 2,4 entsteht, wenn man 4 · 6 : 10 rechnet (Kehrbruch vergessen), die 12 durch Addieren (6 + 10 â 4).
Aus 3 : 8 = 6 : x folgt x = 6 · 3 : 8.
ErklĂ€rung: Steht x im Nenner, wird ĂŒber Kreuz multipliziert: 3 · x = 8 · 6, also x = 8 · 6 : 3 = 16. Mit 6 · 3 : 8 = 2,25 wĂ€re der Kehrbruch vergessen.
Löse 5 : x = 10 : 16. Wie groà ist x?
ErklĂ€rung: Ăber Kreuz: 5 · 16 = 10 · x, also x = 80 : 10 = 8.
Die Geraden AB und CD sind parallel. Es ist ZA = 8 cm, ZC = 20 cm und ZB = 10 cm. Wie lang ist BD (in cm)?
ErklĂ€rung: ZA : ZC = ZB : ZD, also 8 : 20 = 10 : ZD und ZD = 10 · 20 : 8 = 25 cm. Dann ist BD = ZD â ZB = 25 cm â 10 cm = 15 cm.
Die Geraden AB und CD sind parallel. Es ist ZA = 6 cm, AC = 9 cm und ZB = 8 cm. Zeichne eine Skizze, stelle den Ansatz auf und berechne ZD und BD. PrĂŒfe dein Ergebnis mit dem TeilverhĂ€ltnis.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklÀrung: Die Strecke ZC ist ZA + AC = 15 cm. Aus ZA : ZC = ZB : ZD folgt ZD = 20 cm, dann BD = 12 cm. Die Probe mit dem TeilverhÀltnis bestÀtigt es: 6 : 9 = 8 : 12.