Der erste Strahlensatz

The first intercept theorem

Mathematik Klasse 9 17 Aufgaben
GeometrieStrahlensätzeProportionen

Zwei Strahlen von Z werden von zwei Parallelen geschnitten: Die Abschnitte auf beiden Strahlen, ab Z gemessen, stehen im gleichen Verhältnis, ZA : ZC = ZB : ZD. Der Satz folgt aus der zentrischen Streckung und gilt nur bei Parallelen. Räumt aus, ihn ohne Parallelität anzuwenden und Ganzes mit Teil zu mischen (ZA : AC = ZB : ZD). Übt die Verhältnisgleichung mit der Unbekannten im Nenner. Bereitet den zweiten Strahlensatz und die Sachaufgaben vor.

Die Strahlensatzfigur

Zwei Strahlen mit dem gemeinsamen Anfang Z werden von zwei Parallelen geschnitten. Die erste Parallele trifft die Strahlen in A und B, die zweite in C und D. Das ist eine zentrische Streckung von Z aus: Sie bildet A auf C und B auf D ab, mit demselben Faktor k. Also ist und . Teilt man, verschwindet k.

Erster Strahlensatz: Auf beiden Strahlen stehen die Abschnitte ab Z im gleichen Verhältnis.

Verschiebe die zweite Parallele mit k. Wie verhalten sich die beiden Quotienten?

Nur bei Parallelen

Der Satz gilt nur, wenn ist. Nur dann gibt es eine Streckung, die A auf C und B auf D abbildet. Kippt man die zweite Gerade, rutscht D auf seinem Strahl, und die beiden Verhältnisse fallen auseinander.

Beispiel: Bei ZA = 2 cm, ZC = 5 cm und ZB = 2,4 cm gehört zu einer Parallelen ZD = 6 cm. Ist dagegen ZD = 7 cm, so bleibt ZA : ZC = 0,4, aber ZB : ZD ≈ 0,34. Die Gerade CD ist dann nicht mehr parallel zu AB.

Schiebe D auf seinem Strahl. Wann sind beide Quotienten gleich?

Teilverhältnis und Gleichung

Wegen gilt auch das Teilverhältnis : Teil zu Teil. Ganzes und Teil darf man nicht mischen; ist falsch.

Beispiel: ZA = 4 cm, ZC = 10 cm, ZB = 6 cm, gesucht ist ZD = x. Ansatz: . Die Unbekannte steht im Nenner: Mit 10x multipliziert ergibt sich 4x = 60, also x = 15 cm. Probe mit Teilstrecken: AC = 6 cm, BD = 9 cm, und 4 : 6 = 6 : 9.

Die Skizze zeigt die Beispielaufgabe mit den gegebenen Längen und der gesuchten Strecke x.

Voraussetzungen (1)

Die zentrische Streckung
Klasse 9
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Ermöglicht (1)

Der zweite Strahlensatz
Klasse 9
›
Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Die Geraden AB und CD sind parallel. Es ist ZA = 3 cm, ZC = 9 cm und ZB = 4 cm. Wie lang ist ZD?

  • ● 12 cm
  • ○ 10 cm
  • ○ 8 cm
Erster Strahlensatz: ZA : ZC = ZB : ZD, also 3 : 9 = 4 : ZD und ZD = 4 · 9 : 3 = 12 cm. Die 10 cm entstehen durch Addieren (4 + 6), die 8 cm durch ZA : AC = ZB : ZD, also Teil mit Ganzem gemischt (3 : 6 = 4 : 8).
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Die Geraden AB und CD sind parallel. Welche Strecke auf dem anderen Strahl entspricht der Strecke ZA?

  • ● ZB
  • ○ BD
  • ○ ZD
ZA und ZB messen beide von Z bis zur ersten Parallelen, ZC und ZD bis zur zweiten. BD ist nur das Zwischenstück zwischen den Parallelen, und ZD gehört zur zweiten Parallelen, also zu ZC.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Auf zwei Strahlen von Z liegen A, C und B, D mit ZA = 2 cm, ZC = 5 cm und ZB = 3 cm. Bei welcher Länge von ZD ist CD parallel zu AB?

  • ● 7,5 cm
  • ○ 6 cm
  • ○ 1,2 cm
Parallel ist CD nur, wenn ZA : ZC = ZB : ZD gilt: 2 : 5 = 3 : ZD ergibt ZD = 3 · 5 : 2 = 7,5 cm. Die 6 cm entstehen durch Addieren (3 + 3), die 1,2 cm durch den umgekehrten Quotienten (3 · 2 : 5).
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

In der Figur ist ZA = 2 cm, ZC = 5 cm, ZB = 3 cm und ZD = 6 cm. Dann gilt ZA : ZC = ZB : ZD.

✓ Falsch
ZA : ZC = 2 : 5 = 0,4, aber ZB : ZD = 3 : 6 = 0,5. Die Verhältnisse sind verschieden, also ist CD nicht parallel zu AB, und der Strahlensatz darf hier nicht angewendet werden.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Die Geraden AB und CD sind parallel. Es ist ZA = 4 cm, AC = 6 cm und ZB = 6 cm. Wie lang ist BD?

  • ● 9 cm
  • ○ 15 cm
  • ○ 4 cm
Teil zu Teil: ZA : AC = ZB : BD, also 4 : 6 = 6 : BD und BD = 6 · 6 : 4 = 9 cm. Die 15 cm wären ZD, das Ganze (6 + 9). Die 4 cm ergeben sich, wenn man BD : ZB = ZA : AC verkehrt herum ansetzt.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Die Geraden AB und CD sind parallel. Dann gilt ZA : AC = ZB : BD.

✓ Wahr
Links steht Teil zu Teil (ZA : AC), rechts ebenfalls Teil zu Teil (ZB : BD). Das ist das Teilverhältnis; falsch wäre die Mischung ZA : AC = ZB : ZD (Teil zu Ganzem).
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Löse die Verhältnisgleichung 4 : 10 = 6 : x. Welcher Wert ist richtig?

  • ● 15
  • ○ 2,4
  • ○ 12
Über Kreuz: 4 · x = 10 · 6 = 60, also x = 15. Die 2,4 entsteht, wenn man 4 · 6 : 10 rechnet (Kehrbruch vergessen), die 12 durch Addieren (6 + 10 − 4).
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Aus 3 : 8 = 6 : x folgt x = 6 · 3 : 8.

✓ Falsch
Steht x im Nenner, wird über Kreuz multipliziert: 3 · x = 8 · 6, also x = 8 · 6 : 3 = 16. Mit 6 · 3 : 8 = 2,25 wäre der Kehrbruch vergessen.
Mittel
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Die Geraden AB und CD sind parallel. Es ist ZA = 2 cm, ZC = 5 cm und ZB = 4 cm. Wie lang ist ZD (in cm)?

✓ Antwort: 10
ZA : ZC = ZB : ZD, also 2 : 5 = 4 : ZD und ZD = 4 · 5 : 2 = 10 cm.
Lückentext #2 20s ▶ Testen

Der erste Strahlensatz gilt nur, wenn die beiden Geraden AB und CD ___ sind.

✓ Antwort: parallel
Nur wenn AB ∥ CD gilt, gibt es eine zentrische Streckung von Z aus, die A auf C und B auf D abbildet – und nur dann sind die Verhältnisse gleich.
Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Die Geraden AB und CD sind parallel. Es ist ZA = 3 cm, AC = 5 cm und ZB = 4,5 cm. Wie lang ist BD (in cm)?

✓ Antwort: 7.5
ZA : AC = ZB : BD, also 3 : 5 = 4,5 : BD und BD = 5 · 4,5 : 3 = 7,5 cm.
Zahleneingabe #4 35s ▶ Testen

Löse 5 : x = 10 : 16. Wie groß ist x?

✓ Antwort: 8
Über Kreuz: 5 · 16 = 10 · x, also x = 80 : 10 = 8.
Schwer
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Zwei Strahlen von Z werden von den Parallelen AB und CD geschnitten. Es ist ZA = 3 cm, ZB = 5 cm und ZD = 7,5 cm. Wie lang ist ZC (in cm)?

✓ Antwort: 4.5
ZA : ZC = ZB : ZD, also 3 : ZC = 5 : 7,5. Über Kreuz: 5 · ZC = 3 · 7,5, also ZC = 22,5 : 5 = 4,5 cm.
Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Es ist ZA = 4 cm, ZC = 10 cm und ZB = 5 cm. CD soll parallel zu AB sein. Wie lang muss ZD sein (in cm)?

✓ Antwort: 12.5
Damit CD parallel zu AB ist, muss 4 : 10 = 5 : ZD gelten. Also ZD = 5 · 10 : 4 = 12,5 cm.
Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Die Geraden AB und CD sind parallel. Es ist ZA = 5 cm, AC = 7 cm und BD = 14 cm. Wie lang ist ZB (in cm)?

✓ Antwort: 10
ZA : AC = ZB : BD, also 5 : 7 = ZB : 14 und ZB = 5 · 14 : 7 = 10 cm.
Zahleneingabe #4 35s ▶ Testen

Die Geraden AB und CD sind parallel. Es ist ZA = 8 cm, ZC = 20 cm und ZB = 10 cm. Wie lang ist BD (in cm)?

✓ Antwort: 15
ZA : ZC = ZB : ZD, also 8 : 20 = 10 : ZD und ZD = 10 · 20 : 8 = 25 cm. Dann ist BD = ZD − ZB = 25 cm − 10 cm = 15 cm.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Die Geraden AB und CD sind parallel. Es ist ZA = 6 cm, AC = 9 cm und ZB = 8 cm. Zeichne eine Skizze, stelle den Ansatz auf und berechne ZD und BD. Prüfe dein Ergebnis mit dem Teilverhältnis. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze: zwei Strahlen von Z, ZA = 6 cm, ZC = 6 cm + 9 cm = 15 cm, ZB = 8 cm. Ansatz: ZA : ZC = ZB : ZD, also 6 : 15 = 8 : ZD und ZD = 8 · 15 : 6 = 20 cm. BD = ZD − ZB = 12 cm. Probe: ZA : AC = 6 : 9 = 2 : 3 und ZB : BD = 8 : 12 = 2 : 3.
Die Strecke ZC ist ZA + AC = 15 cm. Aus ZA : ZC = ZB : ZD folgt ZD = 20 cm, dann BD = 12 cm. Die Probe mit dem Teilverhältnis bestätigt es: 6 : 9 = 8 : 12.