Länge, Fläche, Volumen
Ein Quadrat hat die Kantenlänge 2 cm. Seine Kanten werden verdreifacht. Wie groß ist die Fläche des neuen Quadrats?
Erklärung: Die neue Kante ist 6 cm lang, die Fläche also 6 cm · 6 cm = 36 cm² (= 4 cm² · 3²). Die 12 cm² sind das Dreifache der alten Fläche (k statt k²), und die 6 cm² sind die neue Kantenlänge, nicht die Fläche.
Wird eine Figur mit k = 2 vergrößert, so wird ihre Fläche doppelt so groß.
Erklärung: Die Fläche wächst mit k² = 4: Sie wird viermal so groß. Wer „doppelt so groß“ sagt, überträgt den Faktor der Längen auf die Fläche.
Ein Rechteck hat die Fläche 8 cm². Es wird mit k = 3 vergrößert. Wie groß ist die Fläche des Bildes (in cm²)?
Erklärung: Fläche mal k²: 8 cm² · 3² = 8 cm² · 9 = 72 cm².
Ein Foto (20 cm × 30 cm) wird zu einem Poster (60 cm × 90 cm) vergrößert. Wievielmal so groß wie die Fläche des Fotos ist die Fläche des Posters?
Erklärung: Es ist k = 60 : 20 = 3 (und 90 : 30 = 3). Die Fläche wächst mit k² = 9. Kontrolle: 60 · 90 = 5400 cm², 20 · 30 = 600 cm², und 5400 : 600 = 9.
Ein Würfel hat die Kantenlänge 2 cm. Er wird auf die Kantenlänge 6 cm vergrößert. Wievielmal so groß wird sein Volumen?
Erklärung: Es ist k = 6 : 2 = 3, das Volumen wächst mit k³ = 27. Probe: 2 · 2 · 2 = 8 cm³ und 6 · 6 · 6 = 216 cm³, und 216 : 8 = 27. Die 9 ist der Faktor für die Fläche (k²), die 3 der für die Länge.
Ein Würfel mit dreimal so langer Kante besteht aus 27 Würfeln der ursprünglichen Größe.
Erklärung: 3 · 3 · 3 = 27: drei Schichten mit je 3 · 3 = 9 Würfeln. Das Volumen wächst mit k³.
Ein Körper hat das Volumen 12 cm³. Er wird mit k = 2 vergrößert. Wie groß ist das Volumen des Bildes (in cm³)?
Erklärung: Volumen mal k³: 12 cm³ · 2³ = 12 cm³ · 8 = 96 cm³.
Ein Kartoffelsack fasst 5 kg. Ein geometrisch ähnlicher Sack ist doppelt so hoch. Wie viel fasst er (in kg)?
Erklärung: Doppelt so hoch heißt k = 2, also wird das Volumen 2³ = 8-mal so groß: 5 kg · 8 = 40 kg. Mit 10 kg wäre der Faktor k statt k³ benutzt.
Ein Quadrat hat die Kantenlänge 3 cm und wird mit k = 4 vergrößert. Wie groß ist der Umfang des Bildes?
Erklärung: Der Umfang ist eine Länge: 4 · 3 cm = 12 cm, mal k = 4 ergibt 48 cm. Die 192 cm entstehen, wenn man mit k² = 16 rechnet (12 · 16). Die 144 cm sind die Fläche des Bildes (12 cm · 12 cm), nicht der Umfang.
Der Umfang einer Figur wächst bei einer Vergrößerung von 20 cm auf 60 cm. Wie ändert sich ihr Flächeninhalt?
Erklärung: Der Umfang ist auf das Dreifache gewachsen, also ist k = 3. Die Fläche wächst mit k² = 9. Die 3 überträgt k auf die Fläche, die 6 ist 2 · k.
Ein Dreieck hat den Umfang 18 cm und den Flächeninhalt 12 cm². Es wird mit k = 2 vergrößert. Wie groß ist der Umfang des Bildes (in cm)?
Erklärung: Der Umfang wächst mit k: 18 cm · 2 = 36 cm. (Der Flächeninhalt würde mit k² = 4 wachsen, auf 48 cm².)
Ein quadratischer Garten (Kante 10 m, Umfang 40 m, Fläche 100 m²) wird mit k = 1,5 vergrößert. Wie groß ist die neue Fläche (in m²)?
Erklärung: Fläche mal k²: 100 m² · 1,5² = 100 m² · 2,25 = 225 m². Kontrolle: Die neue Kante ist 15 m lang, und 15 · 15 = 225.
Die Fläche einer Figur wird bei einer Vergrößerung 49-mal so groß. Um welchen Faktor wurden die Längen vergrößert?
Erklärung: Fläche mal k² = 49 gibt k = √49 = 7. Die 49 ist der Flächenfaktor, nicht der Längenfaktor. Die 24,5 wäre 49 : 2.
Das Volumen eines Körpers wird bei einer Vergrößerung 64-mal so groß. Um welchen Faktor wurden die Längen vergrößert?
Erklärung: Es gilt k³ = 64, also k = ∛64 = 4, denn 4 · 4 · 4 = 64. Die 8 ist √64 (die Wurzel für Flächen), die 32 ist 64 : 2.
Das Volumen eines Körpers wird bei einer Vergrößerung 125-mal so groß. Wie groß ist der Längenfaktor k?
Erklärung: Es gilt k³ = 125, also k = ∛125 = 5, denn 5 · 5 · 5 = 125.
Zwei ähnliche Figuren haben Flächeninhalte im Verhältnis 4 : 9. Eine Seite der kleinen Figur ist 6 cm lang (siehe Skizze, nicht maßstäblich). Wie lang ist die entsprechende Seite der großen Figur (in cm)?
Erklärung: Das Flächenverhältnis 4 : 9 ist k², also ist k = √(9 : 4) = 3 : 2 = 1,5. Die Seite der großen Figur ist 6 cm · 1,5 = 9 cm lang.
Ein Ingenieur baut ein Modell eines Wasserturms im Maßstab 1 : 20. Der Wasserbehälter des Originals fasst 8000 Liter, die Blechfläche seiner Außenwand beträgt 40 m². Gib den Faktor k an und berechne das Fassungsvermögen des Modells (in Litern) und seine Blechfläche (in m²). Begründe, mit welcher Potenz von k du jeweils rechnest.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Volumen wächst mit k³, Fläche mit k². Bei k = 1/20 ist das Modellvolumen 8000 l : 20³ = 1 l und die Modellfläche 40 m² : 20² = 0,1 m².