Länge, Fläche, Volumen
Length, area, volume
Wird eine Figur maßstäblich mit dem Faktor k vergrößert, wachsen die Längen mit k, die Flächeninhalte mit k² und die Volumina mit k³. Das Zählen von Einheitsquadraten und -würfeln macht die Potenzen plausibel; Modelle im Maßstab und Materialaufgaben wenden sie an, und rückwärts wird der Faktor aus dem Flächen- oder Volumenverhältnis gewonnen. Räumt die Linearitätsillusion aus, nach der doppelte Kanten doppelte Fläche oder doppeltes Volumen bedeuten, sowie die Verwechslung von Umfang und Fläche. Bereitet Pyramiden, Kegel und Kugel und die Potenzfunktionen x² und x³ vor.
Flächen wachsen mit k²
Ein Quadrat mit der Kantenlänge 1 cm hat die Fläche 1 cm². Verdreifacht man die Kante
(
Wird eine Figur maßstäblich mit dem Faktor k vergrößert, gilt:
Volumen wächst mit k³
Beim Würfel kommt eine dritte Richtung hinzu. Mit k = 3 wird aus dem Würfel mit 1 cm Kante einer mit 3 cm Kante, und
in ihn passen 3 · 3 · 3 = 27 Einheitswürfel: Das
Für jede maßstäbliche Vergrößerung gilt also: Volumen mal k³. Ein Turm, der in jeder Richtung doppelt so groß ist, besteht aus 8-mal so viel Material und ist bei gleichem Stoff 8-mal so schwer, nicht doppelt so schwer.
Zurückrechnen und anwenden
Oft ist der Faktor gesucht. Ist die Fläche 16-mal so groß, gilt
Beispiel: Ein Modell ist im Maßstab 1 : 50 gebaut, die Fassade des Originals hat 200 m². Mit k = 1/50 hat die
Fassade des Modells
Voraussetzungen (1)
Ein Quadrat hat die Kantenlänge 2 cm. Seine Kanten werden verdreifacht. Wie groß ist die Fläche des neuen Quadrats?
Wird eine Figur mit k = 2 vergrößert, so wird ihre Fläche doppelt so groß.
Ein Würfel hat die Kantenlänge 2 cm. Er wird auf die Kantenlänge 6 cm vergrößert. Wievielmal so groß wird sein Volumen?
Ein Würfel mit dreimal so langer Kante besteht aus 27 Würfeln der ursprünglichen Größe.
Ein Quadrat hat die Kantenlänge 3 cm und wird mit k = 4 vergrößert. Wie groß ist der Umfang des Bildes?
Der Umfang einer Figur wächst bei einer Vergrößerung von 20 cm auf 60 cm. Wie ändert sich ihr Flächeninhalt?
Die Fläche einer Figur wird bei einer Vergrößerung 49-mal so groß. Um welchen Faktor wurden die Längen vergrößert?
Das Volumen eines Körpers wird bei einer Vergrößerung 64-mal so groß. Um welchen Faktor wurden die Längen vergrößert?
Ein Rechteck hat die Fläche 8 cm². Es wird mit k = 3 vergrößert. Wie groß ist die Fläche des Bildes (in cm²)?
Ein Körper hat das Volumen 12 cm³. Er wird mit k = 2 vergrößert. Wie groß ist das Volumen des Bildes (in cm³)?
Ein Dreieck hat den Umfang 18 cm und den Flächeninhalt 12 cm². Es wird mit k = 2 vergrößert. Wie groß ist der Umfang des Bildes (in cm)?
Das Volumen eines Körpers wird bei einer Vergrößerung 125-mal so groß. Wie groß ist der Längenfaktor k?
Ein Foto (20 cm × 30 cm) wird zu einem Poster (60 cm × 90 cm) vergrößert. Wievielmal so groß wie die Fläche des Fotos ist die Fläche des Posters?
Ein Kartoffelsack fasst 5 kg. Ein geometrisch ähnlicher Sack ist doppelt so hoch. Wie viel fasst er (in kg)?
Ein quadratischer Garten (Kante 10 m, Umfang 40 m, Fläche 100 m²) wird mit k = 1,5 vergrößert. Wie groß ist die neue Fläche (in m²)?
Zwei ähnliche Figuren haben Flächeninhalte im Verhältnis 4 : 9. Eine Seite der kleinen Figur ist 6 cm lang (siehe Skizze, nicht maßstäblich). Wie lang ist die entsprechende Seite der großen Figur (in cm)?
Ein Ingenieur baut ein Modell eines Wasserturms im Maßstab 1 : 20. Der Wasserbehälter des Originals fasst 8000 Liter, die Blechfläche seiner Außenwand beträgt 40 m². Gib den Faktor k an und berechne das Fassungsvermögen des Modells (in Litern) und seine Blechfläche (in m²). Begründe, mit welcher Potenz von k du jeweils rechnest. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.