StrahlensÀtze in Sachsituationen
Ein Stab und ein Baum werfen Schatten (siehe Skizze). Die Höhe des Baumes soll mit einem Strahlensatz berechnet werden. Welcher Punkt ist das Zentrum Z?
ErklĂ€rung: Das Zentrum ist der gemeinsame Anfangspunkt beider Strahlen: das Ende des Schattens auf dem Boden (E). Dort treffen sich Boden und Sonnenstrahl. F ist der FuĂpunkt des Stabes und I die Spitze des Baumes; beide liegen nur auf einem der Strahlen.
Ein Stab und ein Baum stehen senkrecht, die Sonnenstrahlen fallen parallel ein. Welche beiden Strecken sind die Parallelen der Strahlensatzfigur?
ErklÀrung: Stab und Baum stehen beide senkrecht auf dem Boden und sind deshalb parallel. Boden und Sonnenstrahl sind die beiden Strahlen von Z, und die Schatten sind Abschnitte auf dem Boden, gemessen ab Z.
Beim Flussbeispiel liegt das Zentrum Z am eigenen Ufer, dort, wo man steht.
ErklĂ€rung: Durch Z laufen die Gerade am Ufer (durch A und C) und die Blicklinie zum Baum (durch T und D). Z selbst ist der Standpunkt am eigenen Ufer; der Baum T steht am gegenĂŒberliegenden Ufer.
Ein 1,50 m langer Stab wirft einen Schatten von 2 m. Zur gleichen Zeit wirft ein Baum einen Schatten von 10 m. Wie hoch ist der Baum (in m)?
ErklÀrung: Stab und Baum sind die Parallelen, die Schatten die Abschnitte ab Z: 1,5 : h = 2 : 10, also h = 1,5 · 10 : 2 = 7,5 m.
Ein Mast wirft einen Schatten von 18 m, ein 1,20 m langer Stab daneben einen von 1,5 m. Wie hoch ist der Mast (in m)?
ErklÀrung: 1,2 : h = 1,5 : 18, also h = 1,2 · 18 : 1,5 = 14,4 m. Anders gesehen: Der Mastschatten ist 18 : 1,5 = 12-mal so lang wie der Stabschatten, also ist der Mast 12 · 1,2 m = 14,4 m hoch.
Ein 10 cm langer Stift wird 60 cm vor dem Auge gehalten und verdeckt genau einen Turm, der 12 000 cm entfernt ist. Welche Gleichung gehört zur Turmhöhe h (in cm)?
ErklÀrung: Stift und Turm sind die Parallelstrecken, die AbstÀnde 60 cm und 12 000 cm die Strahlabschnitte ab dem Auge Z: 10 : h = 60 : 12 000. Bei den anderen AnsÀtzen ist das VerhÀltnis auf einer Seite umgedreht.
Welche Lösung hat die Gleichung 12 : x = 8 : 20?
ErklĂ€rung: Ăber Kreuz: 12 · 20 = 8 · x, also x = 240 : 8 = 30. Die 4,8 entsteht aus 12 · 8 : 20 (Kehrbruch vergessen), die 24 durch Addieren (12 + 20 â 8).
Aus 15 : h = 60 : 9000 folgt h = 60 · 9000 : 15.
ErklĂ€rung: Ăber Kreuz: 15 · 9000 = 60 · h, also h = 15 · 9000 : 60 = 2250. Mit 60 · 9000 : 15 = 36 000 wĂ€re der Kehrbruch vergessen.
Löse die Gleichung 6 : x = 9 : 21. Wie groà ist x?
ErklĂ€rung: Ăber Kreuz: 6 · 21 = 9 · x, also x = 126 : 9 = 14.
Man steht bei Z am Ufer und misst wie im Text (X-Figur): ZA = 30 m, ZC = 6 m und CD = 4 m. Wie breit ist der Fluss AT (in m)?
ErklÀrung: AT und CD sind die Parallelstrecken: AT : CD = ZA : ZC, also AT : 4 = 30 : 6 und AT = 4 · 30 : 6 = 20 m.
Ein 25 cm langer Stift wird 50 cm vor dem Auge gehalten und verdeckt einen Mast, der 40 m entfernt ist. Welcher Ansatz fĂŒr die Masthöhe h ist richtig?
ErklĂ€rung: Alle LĂ€ngen mĂŒssen in derselben Einheit stehen: 40 m = 4000 cm. Dann ist 25 : h = 50 : 4000 richtig. Mit 40 statt 4000 werden cm und m gemischt, und bei 40 : 50 stehen die Abschnitte auf einer Seite falsch herum.
Die Peilung ergibt h = 2250 cm. Das sind 22,5 m.
ErklÀrung: 100 cm sind 1 m, also 2250 cm : 100 = 22,5 m.
Im Flussbeispiel (ZA = 20 m, ZC = 5 m, CD = 3 m) setzt man w : 3 = 20 : 25 an, weil A und C 25 m auseinanderliegen.
ErklÀrung: Im Ansatz stehen die Abschnitte ab Z: ZA = 20 m und ZC = 5 m, also w : 3 = 20 : 5 und w = 12 m. Der Abstand AC = 25 m ist der Zwischenabschnitt und gehört nicht in den Ansatz.
Ein 12 cm langer Stift wird 0,5 m vor dem Auge gehalten und verdeckt einen Turm in 80 m Entfernung. Wie hoch ist der Turm (in m)?
ErklÀrung: Alle LÀngen in m: 0,12 : h = 0,5 : 80, also h = 0,12 · 80 : 0,5 = 19,2 m. Mit 12 (cm) und 0,5 (m) gemischt kÀme etwas ganz anderes heraus.
Ein Mensch von 1,70 m GröĂe steht 3 m vor einem Lampenmast und wirft einen Schatten von 2 m LĂ€nge (Schattenende Z, Mensch und Mast senkrecht, wie in der Skizze). Wie hoch hĂ€ngt die Lampe (in m)?
ErklĂ€rung: Z ist das Ende des Schattens. Der Mensch steht 2 m von Z entfernt, der Mast 2 m + 3 m = 5 m. Zweiter Strahlensatz: 1,7 : h = 2 : 5, also h = 1,7 · 5 : 2 = 4,25 m. Die 3 m dĂŒrfen nicht eingesetzt werden: Die Abschnitte werden von Z aus gemessen.
Ein Stab von 1,20 m LĂ€nge wirft einen 1,80 m langen Schatten. Im selben Moment reicht der Schatten einer Fichte 27 m weit. Zeichne eine Skizze mit Z und den Parallelen, stelle den Ansatz auf und berechne die Höhe der Fichte. PrĂŒfe, ob das Ergebnis plausibel ist.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklÀrung: Z ist das Schattenende. Stab und Fichte sind die Parallelstrecken, die Schatten die Abschnitte ab Z: 1,2 : h = 1,8 : 27. Daraus folgt h = 18 m.