Strahlensätze in Sachsituationen

Intercept theorems in real situations

Mathematik Klasse 9 16 Aufgaben
GeometrieStrahlensätzeProportionen

Schatten von Stab und Baum, die Breite eines Flusses und das Peilen mit dem Stift: Aus der Sachsituation wird eine Skizze mit Zentrum und Parallelen, daraus ein Ansatz und eine Bruchgleichung, die auch mit der Unbekannten im Nenner gelöst wird. Räumt aus, Einheiten zu mischen (cm und m), das Schattenende statt des Zentrums zu wählen und Zwischenabschnitte mit Abschnitten ab Z zu verwechseln. Übt den Kreislauf aus Modellieren, Rechnen und Prüfen, den die Trigonometrie in der Vermessung fortsetzt.

Der Schatten des Baumes

Zurück zum Baum. Die Sonnenstrahlen sind parallel, und Stab und Baum stehen beide senkrecht, sind also parallel zueinander. Skizze zuerst: Das Ende des Schattens ist das Zentrum Z; die Strahlen sind der Boden und der Sonnenstrahl; Stab und Baum sind die Parallelstrecken. Der Stab (1,80 m) steht 2,40 m von Z entfernt, der Baum 12 m.

Zweiter Strahlensatz: , also . Der Baum ist 9 m hoch.

Verändere die Länge des Baumschattens. Wie hoch ist der Baum jeweils?

Die Breite des Flusses

Man steht bei Z am Ufer. Gegenüber steht ein Baum T. Der Punkt A liegt am eigenen Ufer genau gegenüber dem Baum, 20 m von Z entfernt. Auf der anderen Seite von Z steckt man C ab, 5 m von Z. Von C geht man im rechten Winkel zum Ufer landeinwärts, bis Z genau vor dem Baum steht: Das ist der Punkt D mit CD = 3 m.

Das ist eine X-Figur mit . Zweiter Strahlensatz: , also . Der Fluss ist 12 m breit. Im Ansatz steht ZA = 20 m, nicht AC = 25 m.

Die Skizze zeigt die Flussbreite w, die gesuchte Strecke AT, mit den gemessenen Längen.

Peilen mit dem Stift

Ein Wanderer hält einen 15 cm langen Stift im ausgestreckten Arm, 60 cm vor dem Auge Z, sodass er den Kirchturm gerade verdeckt. Der Turm ist 90 m entfernt. Die Sehstrahlen sind die Strahlen, Stift und Turm die Parallelstrecken. Vorsicht bei den Einheiten: 90 m sind 9000 cm.

Ansatz: . Die Unbekannte steht im Nenner: . Das ist für einen Kirchturm plausibel; 2,25 m oder 225 m wären es nicht.

Die Skizze ist nicht maßstäblich: Stift und Turm stehen im selben Verhältnis wie 60 cm zu 90 m.

Voraussetzungen (1)

Der zweite Strahlensatz
Klasse 9
›

Ermöglicht (1)

Raumgeometrie – Anwendungen
Klasse 10
›
Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Ein Stab und ein Baum werfen Schatten (siehe Skizze). Die Höhe des Baumes soll mit einem Strahlensatz berechnet werden. Welcher Punkt ist das Zentrum Z?

  • ● E
  • ○ F
  • ○ I
Das Zentrum ist der gemeinsame Anfangspunkt beider Strahlen: das Ende des Schattens auf dem Boden (E). Dort treffen sich Boden und Sonnenstrahl. F ist der Fußpunkt des Stabes und I die Spitze des Baumes; beide liegen nur auf einem der Strahlen.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Ein Stab und ein Baum stehen senkrecht, die Sonnenstrahlen fallen parallel ein. Welche beiden Strecken sind die Parallelen der Strahlensatzfigur?

  • ● Stab und Baum
  • ○ Boden und Sonnenstrahl
  • ○ Schatten von Stab und Baum
Stab und Baum stehen beide senkrecht auf dem Boden und sind deshalb parallel. Boden und Sonnenstrahl sind die beiden Strahlen von Z, und die Schatten sind Abschnitte auf dem Boden, gemessen ab Z.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Beim Flussbeispiel liegt das Zentrum Z am eigenen Ufer, dort, wo man steht.

✓ Wahr
Durch Z laufen die Gerade am Ufer (durch A und C) und die Blicklinie zum Baum (durch T und D). Z selbst ist der Standpunkt am eigenen Ufer; der Baum T steht am gegenüberliegenden Ufer.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Ein 10 cm langer Stift wird 60 cm vor dem Auge gehalten und verdeckt genau einen Turm, der 12 000 cm entfernt ist. Welche Gleichung gehört zur Turmhöhe h (in cm)?

  • ● 10 : h = 60 : 12000
  • ○ 10 : h = 12000 : 60
  • ○ h : 10 = 60 : 12000
Stift und Turm sind die Parallelstrecken, die Abstände 60 cm und 12 000 cm die Strahlabschnitte ab dem Auge Z: 10 : h = 60 : 12 000. Bei den anderen Ansätzen ist das Verhältnis auf einer Seite umgedreht.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Welche Lösung hat die Gleichung 12 : x = 8 : 20?

  • ● 30
  • ○ 4,8
  • ○ 24
Über Kreuz: 12 · 20 = 8 · x, also x = 240 : 8 = 30. Die 4,8 entsteht aus 12 · 8 : 20 (Kehrbruch vergessen), die 24 durch Addieren (12 + 20 − 8).
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Aus 15 : h = 60 : 9000 folgt h = 60 · 9000 : 15.

✓ Falsch
Über Kreuz: 15 · 9000 = 60 · h, also h = 15 · 9000 : 60 = 2250. Mit 60 · 9000 : 15 = 36 000 wäre der Kehrbruch vergessen.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Ein 25 cm langer Stift wird 50 cm vor dem Auge gehalten und verdeckt einen Mast, der 40 m entfernt ist. Welcher Ansatz für die Masthöhe h ist richtig?

  • ● 25 : h = 50 : 4000
  • ○ 25 : h = 50 : 40
  • ○ 25 : h = 40 : 50
Alle Längen müssen in derselben Einheit stehen: 40 m = 4000 cm. Dann ist 25 : h = 50 : 4000 richtig. Mit 40 statt 4000 werden cm und m gemischt, und bei 40 : 50 stehen die Abschnitte auf einer Seite falsch herum.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Die Peilung ergibt h = 2250 cm. Das sind 22,5 m.

✓ Wahr
100 cm sind 1 m, also 2250 cm : 100 = 22,5 m.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Im Flussbeispiel (ZA = 20 m, ZC = 5 m, CD = 3 m) setzt man w : 3 = 20 : 25 an, weil A und C 25 m auseinanderliegen.

✓ Falsch
Im Ansatz stehen die Abschnitte ab Z: ZA = 20 m und ZC = 5 m, also w : 3 = 20 : 5 und w = 12 m. Der Abstand AC = 25 m ist der Zwischenabschnitt und gehört nicht in den Ansatz.
Mittel
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Ein 1,50 m langer Stab wirft einen Schatten von 2 m. Zur gleichen Zeit wirft ein Baum einen Schatten von 10 m. Wie hoch ist der Baum (in m)?

✓ Antwort: 7.5
Stab und Baum sind die Parallelen, die Schatten die Abschnitte ab Z: 1,5 : h = 2 : 10, also h = 1,5 · 10 : 2 = 7,5 m.
Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Löse die Gleichung 6 : x = 9 : 21. Wie groß ist x?

✓ Antwort: 14
Über Kreuz: 6 · 21 = 9 · x, also x = 126 : 9 = 14.
Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Ein 12 cm langer Stift wird 0,5 m vor dem Auge gehalten und verdeckt einen Turm in 80 m Entfernung. Wie hoch ist der Turm (in m)?

✓ Antwort: 19.2
Alle Längen in m: 0,12 : h = 0,5 : 80, also h = 0,12 · 80 : 0,5 = 19,2 m. Mit 12 (cm) und 0,5 (m) gemischt käme etwas ganz anderes heraus.
Schwer
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Ein Mast wirft einen Schatten von 18 m, ein 1,20 m langer Stab daneben einen von 1,5 m. Wie hoch ist der Mast (in m)?

✓ Antwort: 14.4
1,2 : h = 1,5 : 18, also h = 1,2 · 18 : 1,5 = 14,4 m. Anders gesehen: Der Mastschatten ist 18 : 1,5 = 12-mal so lang wie der Stabschatten, also ist der Mast 12 · 1,2 m = 14,4 m hoch.
Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Man steht bei Z am Ufer und misst wie im Text (X-Figur): ZA = 30 m, ZC = 6 m und CD = 4 m. Wie breit ist der Fluss AT (in m)?

✓ Antwort: 20
AT und CD sind die Parallelstrecken: AT : CD = ZA : ZC, also AT : 4 = 30 : 6 und AT = 4 · 30 : 6 = 20 m.
Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Ein Mensch von 1,70 m Größe steht 3 m vor einem Lampenmast und wirft einen Schatten von 2 m Länge (Schattenende Z, Mensch und Mast senkrecht, wie in der Skizze). Wie hoch hängt die Lampe (in m)?

✓ Antwort: 4.25
Z ist das Ende des Schattens. Der Mensch steht 2 m von Z entfernt, der Mast 2 m + 3 m = 5 m. Zweiter Strahlensatz: 1,7 : h = 2 : 5, also h = 1,7 · 5 : 2 = 4,25 m. Die 3 m dürfen nicht eingesetzt werden: Die Abschnitte werden von Z aus gemessen.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Ein Stab von 1,20 m Länge wirft einen 1,80 m langen Schatten. Im selben Moment reicht der Schatten einer Fichte 27 m weit. Zeichne eine Skizze mit Z und den Parallelen, stelle den Ansatz auf und berechne die Höhe der Fichte. Prüfe, ob das Ergebnis plausibel ist. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze: Z ist das Ende des Schattens; Strahlen sind Boden und Sonnenstrahl; Stab und Fichte stehen senkrecht, sind also parallel. Zweiter Strahlensatz: 1,2 : h = 1,8 : 27, also h = 1,2 · 27 : 1,8 = 18 m. Plausibel: Der Fichtenschatten ist 27 : 1,8 = 15-mal so lang wie der Stabschatten, also ist die Fichte 15 · 1,2 m = 18 m hoch.
Z ist das Schattenende. Stab und Fichte sind die Parallelstrecken, die Schatten die Abschnitte ab Z: 1,2 : h = 1,8 : 27. Daraus folgt h = 18 m.