Die zentrische Streckung
Das Zentrum einer zentrischen Streckung mit k = 3 ist Z = (0 | 0), und es ist P = (2 | 1). Welcher Punkt ist der Bildpunkt P′?
Erklärung: P′ liegt auf dem Strahl von Z durch P, dreimal so weit von Z entfernt wie P: ZP′ = 3 · ZP. Das ist X = (6 | 3). Y liegt zwar auf dem Strahl, aber nur um 3 weiter als P (Addieren statt Multiplizieren). W ist P nach rechts verschoben – eine Verschiebung, keine Streckung.
Bei einer zentrischen Streckung wird das Zentrum Z auf einen anderen Punkt abgebildet.
Erklärung: Das Zentrum hat den Abstand 0 von sich selbst, und k · 0 = 0. Es ist sein eigener Bildpunkt: Z′ = Z.
Bei einer zentrischen Streckung mit dem Zentrum Z und k = 2,5 ist ZP = 4 cm. Wie lang ist ZP′ (in cm)?
Erklärung: ZP′ = k · ZP = 2,5 · 4 cm = 10 cm.
Das Zentrum ist Z = (0 | 0), es ist P = (2 | 3) und k = 4. Welche y-Koordinate hat P′?
Erklärung: Vom Ursprung aus wird jede Koordinate mit k multipliziert: P′ = (4 · 2 | 4 · 3) = (8 | 12). Die y-Koordinate ist 12.
Eine Strecke AB ist 5 cm lang und wird mit k = 1,4 gestreckt. Wie lang ist die Bildstrecke A′B′?
Erklärung: A′B′ = k · AB = 1,4 · 5 cm = 7 cm. Die 6,4 cm entstehen durch Addieren (5 + 1,4), die 3,6 cm durch Teilen (5 : 1,4 ≈ 3,6).
Ein Dreieck mit α = 40° wird mit k = 2 gestreckt. Dann ist der Winkel α′ im Bild 80° groß.
Erklärung: Bei einer zentrischen Streckung bleiben alle Winkel gleich: α′ = 40°. Nur die Längen werden mit k multipliziert.
Das Dreieck A′B′C′ ist das Bild von ABC. Tippe die Bildstrecke, die parallel zu AB liegt.
Erklärung: Jede Bildstrecke liegt parallel zu ihrer Originalstrecke. Zu AB gehört die Bildstrecke A′B′. B′C′ gehört zu BC und C′A′ zu CA.
Das Dreieck ABC mit AB = 6 cm, BC = 4 cm und CA = 5 cm wird mit k = 1,5 gestreckt. Wie lang ist B′C′ (in cm)?
Erklärung: B′C′ = k · BC = 1,5 · 4 cm = 6 cm.
Ein Dreieck mit den Seiten 5 cm, 6 cm und 7 cm hat den Umfang 18 cm. Es wird mit k = 1,5 gestreckt. Wie groß ist der Umfang des Bildes (in cm)?
Erklärung: Jede Seite wird 1,5-mal so lang, also auch ihre Summe: 18 cm · 1,5 = 27 cm (denn 7,5 + 9 + 10,5 = 27).
Eine Strecke von 8 cm wird mit k = 0,25 gestreckt. Wie lang ist die Bildstrecke?
Erklärung: 8 cm · 0,25 = 2 cm. Wegen 0 < k < 1 wird verkleinert. 7,75 cm entsteht durch Subtrahieren (8 − 0,25), 32 cm durch Teilen (8 : 0,25) – das wäre k = 4.
Bei k = 0,5 liegt der Bildpunkt P′ zwischen Z und P.
Erklärung: ZP′ = 0,5 · ZP ist kürzer als ZP, und P′ liegt auf dem Strahl von Z durch P. Also liegt P′ zwischen Z und P.
Es ist ZP = 10 cm und ZP′ = 4 cm. Wie groß ist k?
Erklärung: k = ZP′ : ZP = 4 : 10 = 0,4. Wegen k < 1 ist es eine Verkleinerung.
Ein Logo ist 12 cm breit und 8 cm hoch. Es wird durch eine zentrische Streckung auf 30 cm Breite vergrößert. Wie hoch ist das Bild (in cm)?
Erklärung: k = 30 : 12 = 2,5. Die Höhe wird mit demselben Faktor multipliziert: 8 cm · 2,5 = 20 cm.
Das Dreieck ABC hat die Ecken A(1|1), B(4|1) und C(2|3). Es wird mit dem Zentrum Z(0|0) und k = 2 gestreckt. Zeichne beide Dreiecke in ein Koordinatensystem, gib die Koordinaten von A′, B′ und C′ an und zeige mit den Längen von AB und A′B′, dass k = 2 gilt und A′B′ parallel zu AB ist.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Von Z = (0|0) aus werden alle Koordinaten mit k = 2 multipliziert. So entstehen A′(2|2), B′(8|2), C′(4|6). A′B′ ist doppelt so lang wie AB und liegt wie AB waagerecht.