Der zweite Strahlensatz
Die Geraden AB und CD sind parallel. Es ist ZA = 3 cm, ZC = 7,5 cm und AB = 4 cm. Wie lang ist CD?
ErklÀrung: Zweiter Strahlensatz: AB : CD = ZA : ZC, also 4 : CD = 3 : 7,5 und CD = 4 · 7,5 : 3 = 10 cm. Die 8,5 cm entstehen durch Addieren (4 + 4,5), die 1,6 cm durch den umgekehrten Ansatz (4 · 3 : 7,5).
Die Geraden AB und CD sind parallel. Es soll gelten: AB : CD = ZA : ___. Welche Strecke gehört in die LĂŒcke?
ErklĂ€rung: Zu AB : CD gehört das VerhĂ€ltnis der Strahlabschnitte ab Z: ZA : ZC. AC ist nur das ZwischenstĂŒck zwischen den Parallelen, und BD liegt auf dem anderen Strahl.
Die Geraden AB und CD sind parallel. Dann gilt AB : CD = ZA : AC.
ErklĂ€rung: AC ist nur das ZwischenstĂŒck; zu CD gehört der Strahlabschnitt ZC = ZA + AC. Richtig ist AB : CD = ZA : ZC.
Die Geraden AB und CD sind parallel. Es ist ZA = 2 cm, ZC = 6 cm und AB = 3,5 cm. Wie lang ist CD (in cm)?
ErklÀrung: AB : CD = ZA : ZC, also 3,5 : CD = 2 : 6 und CD = 3,5 · 6 : 2 = 10,5 cm.
Die Geraden AB und CD sind parallel. Es ist AB = 8 cm, CD = 12 cm und ZC = 9 cm. Wie lang ist ZA (in cm)?
ErklĂ€rung: AB : CD = ZA : ZC, also 8 : 12 = ZA : 9. Ăber Kreuz: 12 · ZA = 8 · 9, also ZA = 72 : 12 = 6 cm.
In der X-Figur sind AB und CD parallel. Es ist ZA = 3 cm, ZC = 5 cm und AB = 4,2 cm. Wie lang ist CD?
ErklÀrung: Die SÀtze gelten auch in der X-Figur: AB : CD = ZA : ZC, also 4,2 : CD = 3 : 5 und CD = 4,2 · 5 : 3 = 7 cm. Die 2,52 cm entstehen durch den umgekehrten Ansatz (4,2 · 3 : 5), die 6,2 cm durch Addieren (4,2 + 2).
In einer X-Figur, in der Z zwischen den Parallelen liegt, gilt ZA : ZC = ZB : ZD nicht mehr.
ErklÀrung: Die StrahlensÀtze gelten in der X-Figur unverÀndert: Auch hier stehen die Abschnitte ab Z im gleichen VerhÀltnis, nur liegen C und D auf der anderen Seite von Z.
In der X-Figur sind AB und CD parallel. Tippe die Strecke, die parallel zu AB liegt.
ErklÀrung: Die beiden Parallelen sind AB und CD. Die Strecken AC und BD sind keine Parallelen, sie schneiden sich in Z.
In einer X-Figur (Z liegt zwischen den Parallelen AB und CD) ist ZA = 6 cm, ZC = 4 cm und AB = 9 cm. Wie lang ist CD (in cm)?
ErklÀrung: AB : CD = ZA : ZC, also 9 : CD = 6 : 4 und CD = 9 · 4 : 6 = 6 cm.
In einer X-Figur (Z liegt zwischen den Parallelen AB und CD) ist ZB = 5 cm, ZD = 2 cm und AB = 7,5 cm. Wie lang ist CD (in cm)?
ErklÀrung: Der zweite Strahlensatz gilt mit den Abschnitten des zweiten Strahls: AB : CD = ZB : ZD, also 7,5 : CD = 5 : 2 und CD = 7,5 · 2 : 5 = 3 cm.
Die Geraden AB und CD sind parallel. Gegeben sind ZA = 3 cm, ZC = 8 cm und AB = 4 cm, gesucht ist CD. Welcher Ansatz stimmt?
ErklĂ€rung: Die Parallelstrecke AB kommt vor, also gilt der zweite Strahlensatz: AB : CD = ZA : ZC, das heiĂt 4 : CD = 3 : 8. Der Ansatz 3 : 8 = CD : 4 vertauscht CD und AB, und 3 : 5 verwendet den Zwischenabschnitt AC = 5 statt ZC = 8.
Die Geraden AB und CD sind parallel. Gegeben sind ZA = 4 cm, AC = 6 cm und ZB = 5 cm, gesucht ist ZD. Welcher Ansatz stimmt?
ErklĂ€rung: Es kommen nur Strecken auf den Strahlen vor, also gilt der erste Strahlensatz. Das Ganze ist ZC = ZA + AC = 10 cm, also 4 : 10 = 5 : ZD. Mit AC = 6 wĂŒrde man Teil und Ganzes mischen, und ZD : 5 stellt das VerhĂ€ltnis auf den Kopf.
Zur Berechnung von CD aus ZA, ZC und AB braucht man den zweiten Strahlensatz.
ErklÀrung: CD ist eine Parallelstrecke, also braucht man den zweiten Strahlensatz: AB : CD = ZA : ZC. Der erste Strahlensatz verbindet nur Strecken auf den Strahlen.
Die Geraden AB und CD sind parallel. Es ist AB = 6 cm, CD = 15 cm und ZA = 4 cm. Wie lang ist ZC (in cm)?
ErklÀrung: Mit den Parallelstrecken AB und CD gilt der zweite Strahlensatz: AB : CD = ZA : ZC, also 6 : 15 = 4 : ZC und ZC = 15 · 4 : 6 = 10 cm.
Die Geraden AB und CD sind parallel. Es ist ZA = 4 cm, ZC = 10 cm, ZB = 5 cm und AB = 6 cm. Wie lang ist CD (in cm)?
ErklĂ€rung: Gesucht ist eine Parallelstrecke, also der zweite Strahlensatz: AB : CD = ZA : ZC, das heiĂt 6 : CD = 4 : 10 und CD = 6 · 10 : 4 = 15 cm. Die LĂ€nge ZB = 5 cm wird dafĂŒr nicht gebraucht.
In einer X-Figur schneiden sich die Geraden AC und BD in Z, und es ist AB â„ CD. Es gilt ZA = 6 cm, ZC = 9 cm, AB = 5 cm und ZB = 4 cm. Zeichne die Figur, berechne CD und ZD und schreibe bei jeder Rechnung dazu, welchen Strahlensatz du benutzt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: FĂŒr CD kommt die Parallelstrecke AB vor: zweiter Strahlensatz. FĂŒr ZD braucht man nur Strecken auf den Geraden durch Z: erster Strahlensatz. Beide AnsĂ€tze verwenden ZA und ZC.