Der zweite Strahlensatz

The second intercept theorem

Mathematik Klasse 9 16 Aufgaben
GeometrieStrahlensätzeProportionen

Der zweite Strahlensatz nimmt die Parallelstrecken hinzu: AB : CD = ZA : ZC, die Parallelstrecken verhalten sich wie die Strahlabschnitte ab Z. Er gilt in der V-Figur wie in der X-Figur, in der Z zwischen den Parallelen liegt. Räumt aus, den Zwischenabschnitt AC statt ZC zu verwenden (AB : CD = ZA : AC), und lehrt, den passenden Ansatz zu wählen: nur Strahlenstücke gegeben heißt erster Satz, eine Parallelstrecke dabei heißt zweiter Satz. Bereitet die Sachaufgaben vor, in denen beide Sätze und beide Figuren vorkommen.

Die Parallelstrecken

Bisher blieben wir auf den Strahlen. Der zweite Strahlensatz nimmt die Parallelstrecken hinzu: Die Streckung mit dem Faktor k macht auch AB zu CD, also . Deshalb gilt:

Zweiter Strahlensatz: Die Parallelstrecken verhalten sich wie die zugehörigen Strahlabschnitte ab Z. Der Zwischenabschnitt AC gehört nicht dazu, denn er ist nur ein Teil von ZC: ist falsch.

Beispiel: ZA = 3 cm, ZC = 7,5 cm, AB = 4 cm. Dann ist , also CD = 4 · 7,5 : 3 = 10 cm.

Ändere k. Welcher Quotient stimmt immer mit AB : CD überein, welcher nicht?

X-Figur und Ansatz

Liegen die Parallelen auf verschiedenen Seiten von Z, entsteht eine X-Figur. Beide Sätze gelten unverändert; Z liegt jetzt zwischen A und C sowie zwischen B und D. Beispiel: ZA = 3 cm, ZC = 5 cm, AB = 4,2 cm ergibt .

Welcher Satz? Kommen nur Strecken auf den Strahlen vor, nimmt man den ersten. Ist eine Parallelstrecke dabei, nimmt man den zweiten. Und man setzt nie Strecken aus zwei verschiedenen Ansätzen durcheinander.

In der X-Figur liegt Z zwischen den Parallelen. Welche Strecken liegen auf derselben Geraden durch Z?

Voraussetzungen (1)

Der erste Strahlensatz
Klasse 9
›

Ermöglicht (1)

Strahlensätze in Sachsituationen
Klasse 9
›
Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Die Geraden AB und CD sind parallel. Es ist ZA = 3 cm, ZC = 7,5 cm und AB = 4 cm. Wie lang ist CD?

  • ● 10 cm
  • ○ 8,5 cm
  • ○ 1,6 cm
Zweiter Strahlensatz: AB : CD = ZA : ZC, also 4 : CD = 3 : 7,5 und CD = 4 · 7,5 : 3 = 10 cm. Die 8,5 cm entstehen durch Addieren (4 + 4,5), die 1,6 cm durch den umgekehrten Ansatz (4 · 3 : 7,5).
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Die Geraden AB und CD sind parallel. Es soll gelten: AB : CD = ZA : ___. Welche Strecke gehört in die Lücke?

  • ● ZC
  • ○ AC
  • ○ BD
Zu AB : CD gehört das Verhältnis der Strahlabschnitte ab Z: ZA : ZC. AC ist nur das Zwischenstück zwischen den Parallelen, und BD liegt auf dem anderen Strahl.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Die Geraden AB und CD sind parallel. Dann gilt AB : CD = ZA : AC.

✓ Falsch
AC ist nur das Zwischenstück; zu CD gehört der Strahlabschnitt ZC = ZA + AC. Richtig ist AB : CD = ZA : ZC.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

In der X-Figur sind AB und CD parallel. Es ist ZA = 3 cm, ZC = 5 cm und AB = 4,2 cm. Wie lang ist CD?

  • ● 7 cm
  • ○ 2,52 cm
  • ○ 6,2 cm
Die Sätze gelten auch in der X-Figur: AB : CD = ZA : ZC, also 4,2 : CD = 3 : 5 und CD = 4,2 · 5 : 3 = 7 cm. Die 2,52 cm entstehen durch den umgekehrten Ansatz (4,2 · 3 : 5), die 6,2 cm durch Addieren (4,2 + 2).
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

In einer X-Figur, in der Z zwischen den Parallelen liegt, gilt ZA : ZC = ZB : ZD nicht mehr.

✓ Falsch
Die Strahlensätze gelten in der X-Figur unverändert: Auch hier stehen die Abschnitte ab Z im gleichen Verhältnis, nur liegen C und D auf der anderen Seite von Z.
Im Bild tippen #6 20s ▶ Testen

In der X-Figur sind AB und CD parallel. Tippe die Strecke, die parallel zu AB liegt.

✓ Antwort: CD
Die beiden Parallelen sind AB und CD. Die Strecken AC und BD sind keine Parallelen, sie schneiden sich in Z.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Die Geraden AB und CD sind parallel. Gegeben sind ZA = 3 cm, ZC = 8 cm und AB = 4 cm, gesucht ist CD. Welcher Ansatz stimmt?

  • ● 3 : 8 = 4 : CD
  • ○ 3 : 8 = CD : 4
  • ○ 3 : 5 = 4 : CD
Die Parallelstrecke AB kommt vor, also gilt der zweite Strahlensatz: AB : CD = ZA : ZC, das heißt 4 : CD = 3 : 8. Der Ansatz 3 : 8 = CD : 4 vertauscht CD und AB, und 3 : 5 verwendet den Zwischenabschnitt AC = 5 statt ZC = 8.
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Die Geraden AB und CD sind parallel. Gegeben sind ZA = 4 cm, AC = 6 cm und ZB = 5 cm, gesucht ist ZD. Welcher Ansatz stimmt?

  • ● 4 : 10 = 5 : ZD
  • ○ 4 : 6 = 5 : ZD
  • ○ 4 : 10 = ZD : 5
Es kommen nur Strecken auf den Strahlen vor, also gilt der erste Strahlensatz. Das Ganze ist ZC = ZA + AC = 10 cm, also 4 : 10 = 5 : ZD. Mit AC = 6 würde man Teil und Ganzes mischen, und ZD : 5 stellt das Verhältnis auf den Kopf.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Zur Berechnung von CD aus ZA, ZC und AB braucht man den zweiten Strahlensatz.

✓ Wahr
CD ist eine Parallelstrecke, also braucht man den zweiten Strahlensatz: AB : CD = ZA : ZC. Der erste Strahlensatz verbindet nur Strecken auf den Strahlen.
Mittel
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Die Geraden AB und CD sind parallel. Es ist ZA = 2 cm, ZC = 6 cm und AB = 3,5 cm. Wie lang ist CD (in cm)?

✓ Antwort: 10.5
AB : CD = ZA : ZC, also 3,5 : CD = 2 : 6 und CD = 3,5 · 6 : 2 = 10,5 cm.
Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

In einer X-Figur (Z liegt zwischen den Parallelen AB und CD) ist ZA = 6 cm, ZC = 4 cm und AB = 9 cm. Wie lang ist CD (in cm)?

✓ Antwort: 6
AB : CD = ZA : ZC, also 9 : CD = 6 : 4 und CD = 9 · 4 : 6 = 6 cm.
Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Die Geraden AB und CD sind parallel. Es ist AB = 6 cm, CD = 15 cm und ZA = 4 cm. Wie lang ist ZC (in cm)?

✓ Antwort: 10
Mit den Parallelstrecken AB und CD gilt der zweite Strahlensatz: AB : CD = ZA : ZC, also 6 : 15 = 4 : ZC und ZC = 15 · 4 : 6 = 10 cm.
Schwer
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Die Geraden AB und CD sind parallel. Es ist AB = 8 cm, CD = 12 cm und ZC = 9 cm. Wie lang ist ZA (in cm)?

✓ Antwort: 6
AB : CD = ZA : ZC, also 8 : 12 = ZA : 9. Über Kreuz: 12 · ZA = 8 · 9, also ZA = 72 : 12 = 6 cm.
Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

In einer X-Figur (Z liegt zwischen den Parallelen AB und CD) ist ZB = 5 cm, ZD = 2 cm und AB = 7,5 cm. Wie lang ist CD (in cm)?

✓ Antwort: 3
Der zweite Strahlensatz gilt mit den Abschnitten des zweiten Strahls: AB : CD = ZB : ZD, also 7,5 : CD = 5 : 2 und CD = 7,5 · 2 : 5 = 3 cm.
Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Die Geraden AB und CD sind parallel. Es ist ZA = 4 cm, ZC = 10 cm, ZB = 5 cm und AB = 6 cm. Wie lang ist CD (in cm)?

✓ Antwort: 15
Gesucht ist eine Parallelstrecke, also der zweite Strahlensatz: AB : CD = ZA : ZC, das heißt 6 : CD = 4 : 10 und CD = 6 · 10 : 4 = 15 cm. Die Länge ZB = 5 cm wird dafür nicht gebraucht.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

In einer X-Figur schneiden sich die Geraden AC und BD in Z, und es ist AB ∥ CD. Es gilt ZA = 6 cm, ZC = 9 cm, AB = 5 cm und ZB = 4 cm. Zeichne die Figur, berechne CD und ZD und schreibe bei jeder Rechnung dazu, welchen Strahlensatz du benutzt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze der X-Figur mit Z zwischen A und C sowie zwischen B und D. CD: zweiter Strahlensatz, AB : CD = ZA : ZC, also 5 : CD = 6 : 9 und CD = 5 · 9 : 6 = 7,5 cm. ZD: erster Strahlensatz, ZA : ZC = ZB : ZD, also 6 : 9 = 4 : ZD und ZD = 4 · 9 : 6 = 6 cm.
Für CD kommt die Parallelstrecke AB vor: zweiter Strahlensatz. Für ZD braucht man nur Strecken auf den Geraden durch Z: erster Strahlensatz. Beide Ansätze verwenden ZA und ZC.