Extremwertprobleme
Ein Zaun der Länge 40 m soll ein rechteckiges Beet umschließen, dessen Fläche möglichst groß sein soll. Was ist die Zielgröße?
Erklärung: Die Zielgröße ist die Größe, die extrem werden soll: der Flächeninhalt. Die Zaunlänge 40 m ist fest und gehört zur Nebenbedingung.
Ein Kasten soll genau 20 Liter fassen und möglichst wenig Blech verbrauchen. Die Zielgröße ist das Volumen.
Erklärung: Das Volumen ist mit 20 Litern vorgegeben, es ist die Nebenbedingung. Extrem werden soll der Blechverbrauch, also die Oberfläche: Sie ist die Zielgröße.
Ein Rechteck hat den Umfang 40 m. Eine Seite ist a = 12 m lang. Wie lang ist die andere Seite (in m)?
Erklärung: Aus 2a + 2b = 40 folgt b = 20 − a = 20 − 12 = 8 m.
Ein Rechteck hat den Umfang 40 m. Berechne seinen Flächeninhalt für a = 14 m (in m²).
Erklärung: Die andere Seite ist b = 20 − 14 = 6 m, die Fläche A = 14 · 6 = 84 m².
Ein Beet mit Umfang 40 m hat die Seite x. Welche Zielfunktion beschreibt den Flächeninhalt A(x)?
Erklärung: Die andere Seite ist 20 − x, denn 2x + 2b = 40 heißt b = 20 − x. Bei 40 − x wird nur eine Seite abgezogen, bei 20 − 2x zweimal x.
Ein Rechteck liegt symmetrisch zur y-Achse mit zwei Ecken auf der x-Achse; die oberen Ecken liegen auf der Parabel y = 12 − x². Welche Zielfunktion gibt den Flächeninhalt in Abhängigkeit von der x-Koordinate x der rechten Ecken an?
Erklärung: Die Breite ist 2x (von −x bis x), die Höhe 12 − x². Mit nur x als Breite zählt man die halbe Fläche, und 2x · 12 verwendet nicht die Parabel.
Für die Zielfunktion A(x) = 20x − x² soll A′(x) = 0 gelten. Bei welchem x ist das der Fall?
Erklärung: A′(x) = 20 − 2x = 0 ergibt x = 10.
Für das Rechteck unter y = 12 − x² gilt A(x) = 24x − 2x³. Wie breit (in Längeneinheiten) ist das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt?
Erklärung: A′(x) = 24 − 6x² = 0 ergibt x = 2 (x = −2 ist nicht zulässig). Die Breite ist 2x = 4.
Das Beet hat die Seiten x und 20 − x. Welcher Definitionsbereich ist sinnvoll?
Erklärung: Beide Seiten müssen positiv sein: x > 0 und 20 − x > 0, also 0 < x < 20. Mit x > 0 allein wäre die zweite Seite eventuell negativ, und 40 ergibt sich aus dem Umfang, nicht aus den Seiten.
Für das Rechteck unter der Parabel y = 12 − x² ist x = 4 eine zulässige Stelle für die rechte Ecke.
Erklärung: Bei x = 4 wäre die Höhe 12 − 16 = −4 negativ. Zulässig sind nur x mit 0 < x < √12 ≈ 3,46.
Ein Rechteck hat die Breite x und die Höhe 30 − 3x (in cm). Für welchen x-Wert ist die Höhe genau 0 (Obergrenze des Definitionsbereichs)?
Erklärung: 30 − 3x = 0 ergibt x = 10. Für 0 < x < 10 ist die Höhe positiv.
Aus einem quadratischen Blech mit 8 dm Seitenlänge werden Eckquadrate der Seite x ausgeschnitten. Die Bodenseite ist 8 − 2x. Wie lautet die Obergrenze des Definitionsbereichs von x (in dm)? Sie selbst gehört nicht mehr dazu.
Erklärung: Die Bodenseite 8 − 2x muss positiv sein: x < 4. Der Definitionsbereich ist 0 < x < 4.
Der Gewinn G(x) = −x³ + 3x² + 9x (in 1000 €) soll bei einer Produktionsmenge x im Bereich [0 ; 2] maximal werden. Wo liegt das Maximum?
Erklärung: G′(x) = −3(x − 3)(x + 1) ist auf [0 ; 2] positiv, G steigt. Das Maximum G(2) = 22 liegt am rechten Rand. x = 3 wäre die Nullstelle von G′, liegt aber außerhalb des Bereichs; G(0) = 0 ist der kleinste Wert.
Für f(x) = x³ − 3x auf [−2 ; 3] gilt f′(−1) = 0. Deshalb ist f(−1) = 2 der größte Funktionswert auf diesem Bereich.
Erklärung: f(−1) = 2 ist nur ein lokales Maximum. Am Rand ist f(3) = 27 − 9 = 18 deutlich größer.
Wie groß ist der Randwert f(3) der Funktion f(x) = x³ − 3x auf [0 ; 3]?
Erklärung: f(3) = 27 − 9 = 18.
Bestimme den größten Funktionswert von f(x) = −x² + 4x auf dem Bereich [3 ; 5].
Erklärung: f′(x) = −2x + 4 = 0 ergibt x = 2, das liegt nicht in [3 ; 5]. Auf dem Bereich fällt f; der größte Wert steht am linken Rand: f(3) = −9 + 12 = 3 (f(5) = −5).
Ein Landwirt hat 60 m Zaun und will damit an einer langen Hauswand ein rechteckiges Gehege einzäunen; an der Wand ist kein Zaun nötig. Stelle die Zielfunktion auf, gib den Definitionsbereich an, bestimme die Maße für den größten Flächeninhalt und begründe, dass es ein globales Maximum ist.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Nebenbedingung 2x + y = 60 liefert A(x) = x(60 − 2x) auf 0 < x < 30. Die Ableitung 60 − 4x ist bei x = 15 null; die Ränder geben 0, also ist 450 m² das globale Maximum.