Extremwertprobleme

Extremum problems

Mathematik Klasse 13 17 Aufgaben
AnalysisOptimierungExtrema

Ein Extremwertproblem wird in vier Schritten gelöst: Zielgröße festlegen, die Nebenbedingung einsetzen, den Definitionsbereich aus der Sache bestimmen und die Extremstellen samt Randwerten vergleichen. Der Abschnitt räumt drei Fehler aus: Nebenbedingung und Zielgröße zu verwechseln, den Definitionsbereich zu vergessen und f′ = 0 für ein globales Maximum zu halten, obwohl es am Rand liegt. Er bereitet das Modellieren und Bewerten vor.

Zielgröße und Zielfunktion

Aus einem quadratischen Blech mit 6 dm Seitenlänge werden in den Ecken Quadrate der Seitenlänge x ausgeschnitten; die Ränder werden zu einem offenen Kasten hochgebogen. Gesucht ist der Kasten mit dem größten Volumen. Die Zielgröße ist das Volumen V: die Größe, die extrem werden soll. Sie hängt von mehreren Längen ab, . Die Nebenbedingung verbindet sie mit x: Der Boden ist ein Quadrat mit der Seite , die Höhe ist x. Setzt man ein, bleibt eine einzige Variable, die Zielfunktion . Erst dann lässt sich ableiten.

Verändere x. Wie ändern sich die Seite des Bodens und das Volumen, wenn die Ecken größer werden?

Definitionsbereich und Ränder

Die Zielfunktion gilt nur für sinnvolle x: Die Ecken müssen Platz haben, also 0 < x < 3. Das ist der Definitionsbereich aus dem Sachkontext. Ableiten gibt . Nur x = 1 liegt im Bereich. Wegen ist dort ein Hochpunkt mit dm³. Ein globales Maximum bestätigt man über die Ränder: , beide kleiner als 16. Schränkt ein Anschlag den Bereich auf x ≤ 0,6 ein, steigt V auf dem ganzen Bereich; das Maximum liegt am Rand mit dm³, obwohl dort ist. Die Randwerte gehören immer in den Vergleich.

Ziehe die Obergrenze b nach links unter 1. Wo liegt jetzt das Maximum, und was zeigt der Chip V′(b)?
Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Ein Zaun der Länge 40 m soll ein rechteckiges Beet umschließen, dessen Fläche möglichst groß sein soll. Was ist die Zielgröße?

  • ○ die Zaunlänge 40 m
  • ● der Flächeninhalt des Beets
  • ○ die Länge einer Seite
Die Zielgröße ist die Größe, die extrem werden soll: der Flächeninhalt. Die Zaunlänge 40 m ist fest und gehört zur Nebenbedingung.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Ein Kasten soll genau 20 Liter fassen und möglichst wenig Blech verbrauchen. Die Zielgröße ist das Volumen.

✓ Falsch
Das Volumen ist mit 20 Litern vorgegeben, es ist die Nebenbedingung. Extrem werden soll der Blechverbrauch, also die Oberfläche: Sie ist die Zielgröße.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Ein Beet mit Umfang 40 m hat die Seite x. Welche Zielfunktion beschreibt den Flächeninhalt A(x)?

  • ○ A(x) = x · (40 − x)
  • ○ A(x) = x · (20 − 2x)
  • ● A(x) = x · (20 − x)
Die andere Seite ist 20 − x, denn 2x + 2b = 40 heißt b = 20 − x. Bei 40 − x wird nur eine Seite abgezogen, bei 20 − 2x zweimal x.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Ein Rechteck liegt symmetrisch zur y-Achse mit zwei Ecken auf der x-Achse; die oberen Ecken liegen auf der Parabel y = 12 − x². Welche Zielfunktion gibt den Flächeninhalt in Abhängigkeit von der x-Koordinate x der rechten Ecken an?

  • ○ A(x) = x · (12 − x²)
  • ● A(x) = 2x · (12 − x²)
  • ○ A(x) = 2x · 12
Die Breite ist 2x (von −x bis x), die Höhe 12 − x². Mit nur x als Breite zählt man die halbe Fläche, und 2x · 12 verwendet nicht die Parabel.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Das Beet hat die Seiten x und 20 − x. Welcher Definitionsbereich ist sinnvoll?

  • ○ x > 0
  • ● 0 < x < 20
  • ○ 0 < x < 40
Beide Seiten müssen positiv sein: x > 0 und 20 − x > 0, also 0 < x < 20. Mit x > 0 allein wäre die zweite Seite eventuell negativ, und 40 ergibt sich aus dem Umfang, nicht aus den Seiten.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Für das Rechteck unter der Parabel y = 12 − x² ist x = 4 eine zulässige Stelle für die rechte Ecke.

✓ Falsch
Bei x = 4 wäre die Höhe 12 − 16 = −4 negativ. Zulässig sind nur x mit 0 < x < √12 ≈ 3,46.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Der Gewinn G(x) = −x³ + 3x² + 9x (in 1000 €) soll bei einer Produktionsmenge x im Bereich [0 ; 2] maximal werden. Wo liegt das Maximum?

  • ● bei x = 2 (am Rand)
  • ○ bei x = 3
  • ○ bei x = 0
G′(x) = −3(x − 3)(x + 1) ist auf [0 ; 2] positiv, G steigt. Das Maximum G(2) = 22 liegt am rechten Rand. x = 3 wäre die Nullstelle von G′, liegt aber außerhalb des Bereichs; G(0) = 0 ist der kleinste Wert.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Für f(x) = x³ − 3x auf [−2 ; 3] gilt f′(−1) = 0. Deshalb ist f(−1) = 2 der größte Funktionswert auf diesem Bereich.

✓ Falsch
f(−1) = 2 ist nur ein lokales Maximum. Am Rand ist f(3) = 27 − 9 = 18 deutlich größer.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Rechteck hat den Umfang 40 m. Eine Seite ist a = 12 m lang. Wie lang ist die andere Seite (in m)?

✓ Antwort: 8
Aus 2a + 2b = 40 folgt b = 20 − a = 20 − 12 = 8 m.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für die Zielfunktion A(x) = 20x − x² soll A′(x) = 0 gelten. Bei welchem x ist das der Fall?

✓ Antwort: 10
A′(x) = 20 − 2x = 0 ergibt x = 10.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Rechteck hat die Breite x und die Höhe 30 − 3x (in cm). Für welchen x-Wert ist die Höhe genau 0 (Obergrenze des Definitionsbereichs)?

✓ Antwort: 10
30 − 3x = 0 ergibt x = 10. Für 0 < x < 10 ist die Höhe positiv.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Wie groß ist der Randwert f(3) der Funktion f(x) = x³ − 3x auf [0 ; 3]?

✓ Antwort: 18
f(3) = 27 − 9 = 18.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Rechteck hat den Umfang 40 m. Berechne seinen Flächeninhalt für a = 14 m (in m²).

✓ Antwort: 84
Die andere Seite ist b = 20 − 14 = 6 m, die Fläche A = 14 · 6 = 84 m².
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für das Rechteck unter y = 12 − x² gilt A(x) = 24x − 2x³. Wie breit (in Längeneinheiten) ist das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt?

✓ Antwort: 4
A′(x) = 24 − 6x² = 0 ergibt x = 2 (x = −2 ist nicht zulässig). Die Breite ist 2x = 4.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Aus einem quadratischen Blech mit 8 dm Seitenlänge werden Eckquadrate der Seite x ausgeschnitten. Die Bodenseite ist 8 − 2x. Wie lautet die Obergrenze des Definitionsbereichs von x (in dm)? Sie selbst gehört nicht mehr dazu.

✓ Antwort: 4
Die Bodenseite 8 − 2x muss positiv sein: x < 4. Der Definitionsbereich ist 0 < x < 4.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Bestimme den größten Funktionswert von f(x) = −x² + 4x auf dem Bereich [3 ; 5].

✓ Antwort: 3
f′(x) = −2x + 4 = 0 ergibt x = 2, das liegt nicht in [3 ; 5]. Auf dem Bereich fällt f; der größte Wert steht am linken Rand: f(3) = −9 + 12 = 3 (f(5) = −5).
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Ein Landwirt hat 60 m Zaun und will damit an einer langen Hauswand ein rechteckiges Gehege einzäunen; an der Wand ist kein Zaun nötig. Stelle die Zielfunktion auf, gib den Definitionsbereich an, bestimme die Maße für den größten Flächeninhalt und begründe, dass es ein globales Maximum ist. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Seiten x (senkrecht zur Wand, zwei Mal) und y (parallel zur Wand): 2x + y = 60, also y = 60 − 2x. Zielfunktion A(x) = x·(60 − 2x) = 60x − 2x², Definitionsbereich 0 < x < 30. A′(x) = 60 − 4x = 0 ergibt x = 15, A″ = −4 < 0, also Maximum. y = 30, A(15) = 450 m². Ränder: A(0) = A(30) = 0 < 450, also globales Maximum.
Die Nebenbedingung 2x + y = 60 liefert A(x) = x(60 − 2x) auf 0 < x < 30. Die Ableitung 60 − 4x ist bei x = 15 null; die Ränder geben 0, also ist 450 m² das globale Maximum.