Funktionenscharen untersuchen
Wie lautet die Ableitung von f_t(x) = t·x² nach x?
Erklärung: Beim Ableiten nach x bleibt t als Faktor stehen: (t·x²)′ = t · 2x = 2t·x. Wer 2x schreibt, lässt t verschwinden, wer x² schreibt, leitet nach t ab.
Für f_t(x) = x² + t² gilt f_t′(x) = 2x + 2t.
Erklärung: Für festes t ist t² eine Konstante, ihre Ableitung nach x ist 0. Richtig ist f_t′(x) = 2x.
Gegeben ist f_t(x) = x³ − 4t·x. Berechne f_t′(1) für t = 2.
Erklärung: f_t′(x) = 3x² − 4t. Für x = 1 und t = 2 ist das 3 − 8 = −5.
Für welchen Wert von t hat f_t(x) = x² − t·x an der Stelle x = 3 die Steigung 0?
Erklärung: f_t′(x) = 2x − t. Aus f_t′(3) = 6 − t = 0 folgt t = 6.
Alle Graphen der Schar h_t(x) = t·(x − 1) + 4 laufen durch einen gemeinsamen Punkt. Welcher ist es?
Erklärung: Für x = 1 verschwindet der Summand t·(x − 1), es bleibt h_t(1) = 4 für jedes t. (0 | 4) verwechselt das x mit der Konstanten, bei (1 | 0) fehlt der y-Wert.
Der Punkt (2 | 1) liegt auf allen Graphen der Schar k_t(x) = t·x² − 4t + 1.
Erklärung: k_t(2) = 4t − 4t + 1 = 1, der Parameter fällt weg. Deshalb liegt (2 | 1) auf jedem Graphen der Schar; wegen der Symmetrie auch (−2 | 1).
Für h_t(x) = t·(x − 3) + 2 liegt der gemeinsame Punkt aller Graphen bei x = 3. Wie groß ist sein y-Wert?
Erklärung: Für x = 3 ist der Klammerterm null: h_t(3) = t · 0 + 2 = 2, unabhängig von t.
Alle Graphen der Schar m_t(x) = t·x² − 9t + 5 haben an zwei Stellen denselben y-Wert. Wie lautet die positive dieser Stellen?
Erklärung: Der Term mit t verschwindet, wenn x² − 9 = 0 gilt, also für x = 3 und x = −3. Dort ist m_t immer 5.
Bei welchem x liegt die Extremstelle von f_t(x) = x² − 6t·x?
Erklärung: f_t′(x) = 2x − 6t = 0 liefert x = 3t. Wer x = 6t schreibt, vergisst den Faktor 2 der Ableitung; x = 3 lässt t einfach weg.
Die Extremstelle von f_t(x) = x² − 4t·x liegt für t > 0 bei einem umso größeren x, je größer t ist.
Erklärung: f_t′(x) = 2x − 4t = 0 ergibt x = 2t. Die Extremstelle wandert also mit t nach rechts.
Löse f_t′(x) = 0 für f_t(x) = x² − 10t·x und gib die Extremstelle für t = 3 an.
Erklärung: f_t′(x) = 2x − 10t = 0 ergibt x = 5t. Für t = 3 ist das x = 15.
Die Funktion f_t(x) = x² − 4t·x hat ihre Extremstelle bei x = 8. Bestimme t.
Erklärung: Die Extremstelle ist x = 2t (aus 2x − 4t = 0). Aus 2t = 8 folgt t = 4.
Für t = −2 hat f_t(x) = t·x² − 4x an der Extremstelle x = −1 …
Erklärung: f_t″(x) = 2t = −4 < 0, also liegt bei x = −1 ein Maximum. Ein Minimum wäre die Antwort für t > 0; die Ableitung f_t′(−1) = 4 − 4 = 0 bestätigt die Extremstelle.
Für jedes t ≠0 ist die Extremstelle x = 2/t von f_t(x) = t·x² − 4x ein Tiefpunkt.
Erklärung: f_t″(x) = 2t. Für t > 0 ist es ein Tiefpunkt, für t < 0 ein Hochpunkt.
Berechne f_t″(x) für f_t(x) = t·x² − 4x mit t = −3.
Erklärung: f_t′(x) = 2t·x − 4 und f_t″(x) = 2t = −6.
Für welches t hat f_t(x) = t·x² − 4x bei x = −1 eine Extremstelle?
Erklärung: f_t′(x) = 2t·x − 4. Aus f_t′(−1) = −2t − 4 = 0 folgt t = −2.
Untersuche die Schar f_t(x) = x²·(x − t) mit t > 0. Bestimme die Nullstellen, die Extremstellen in Abhängigkeit von t und gib jeweils an, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Ableitung ist ein Produkt aus x und (3x − 2t), die beiden Nullstellen liefern die Extremstellen. Das Vorzeichen von f_t″ entscheidet für t > 0: Hochpunkt bei 0, Tiefpunkt bei 2t/3.