Funktionenscharen untersuchen

Studying families of functions

Mathematik Klasse 13 17 Aufgaben

AnalysisFunktionenfamilieExtrema

Funktionen mit einem Parameter t liefern für jeden Wert von t einen eigenen Graphen. Der Abschnitt untersucht die Schar f_t(x) = x(x − t)² und räumt drei Fehler aus: t wie eine Variable abzuleiten, einen Punkt für gemeinsam zu halten, der nur für ein t passt, und die Art eines Extremums ohne Blick auf das Vorzeichen von t anzugeben. Er bereitet das Bestimmen von Parametern aus Bedingungen und die Extremwertprobleme vor.

Ein Parameter, viele Graphen

Eine Funktionenschar ist eine Familie von Funktionen mit einem Parameter t: Für jeden Wert von t erhält man eine eigene Funktion. Wir untersuchen $f_{t} (x) = x (x - t)^{2}$ . Für t = 2 ist das $x (x - 2)^{2}$ , für t = 3 ist es $x (x - 3)^{2}$ . Jeder Graph hat bei x = 0 eine Nullstelle und bei x = t eine doppelte. Beim Ableiten nach x ist t eine feste Zahl, keine Variable: Aus $f_{t} (x) = x^{3} - 2 t x^{2} + t^{2} x$ wird $f_{t}^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 t x + t^{2}$ . Der Summand $t^{2} x$ liefert $t^{2}$ , nicht $2 t x$ .

Verändere t. Wo liegt die doppelte Nullstelle, und was passiert mit der Nullstelle bei 0?

Gemeinsame Punkte

Manchmal laufen alle Graphen einer Schar durch denselben Punkt. Bei $g_{t} (x) = t x (x - 2) + 3$ steht t nur vor dem Produkt $x (x - 2)$ . Wählt man x so, dass dieses Produkt null ist, fällt t weg: Für x = 0 und x = 2 ist $g_{t} (x) = 3$ , wie auch immer t gewählt wird. Alle Graphen gehen also durch (0 | 3) und (2 | 3). So findet man gemeinsame Punkte: erst das x suchen, bei dem der Term mit t verschwindet, dann den y-Wert ausrechnen. Ein Punkt, der nur für ein bestimmtes t auf dem Graphen liegt, ist kein gemeinsamer Punkt.

Drehe t. Welche Punkte bleiben an ihrem Platz, und welche Werte in den Chips ändern sich nicht?

Extremstellen hängen von t ab

Zurück zu $f_{t}$ . Aus $f_{t}^{'} (x) = (3 x - t) (x - t) = 0$ folgen die Stellen x = t/3 und x = t. Der Parameter bleibt im Ergebnis stehen, denn die Extremstellen wandern mit t. Die zweite Ableitung $f_{t}^{''} (x) = 6 x - 4 t$ entscheidet über die Art: Bei x = t/3 ist sie −2t, bei x = t ist sie 2t. Für t > 0 liegt bei t/3 ein Hochpunkt $H (\frac{t}{3} ∣ \frac{4 t ^{3}}{27})$ und bei t ein Tiefpunkt $T (t ∣ 0)$ . Für t < 0 tauschen die beiden ihre Rollen, denn dann ist −2t positiv. Eine Antwort ohne Fallunterscheidung nach dem Vorzeichen von t ist unvollständig.

Schiebe t über null. Welcher der beiden markierten Punkte ist danach der Hochpunkt, welcher der Tiefpunkt?

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Wie lautet die Ableitung von f_t(x) = t·x² nach x?

○ f_t′(x) = 2x
● f_t′(x) = 2t·x
○ f_t′(x) = x²

Beim Ableiten nach x bleibt t als Faktor stehen: (t·x²)′ = t · 2x = 2t·x. Wer 2x schreibt, lässt t verschwinden, wer x² schreibt, leitet nach t ab.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Für f_t(x) = x² + t² gilt f_t′(x) = 2x + 2t.

✓ Falsch

Für festes t ist t² eine Konstante, ihre Ableitung nach x ist 0. Richtig ist f_t′(x) = 2x.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Alle Graphen der Schar h_t(x) = t·(x − 1) + 4 laufen durch einen gemeinsamen Punkt. Welcher ist es?

○ (0 | 4)
● (1 | 4)
○ (1 | 0)

Für x = 1 verschwindet der Summand t·(x − 1), es bleibt h_t(1) = 4 für jedes t. (0 | 4) verwechselt das x mit der Konstanten, bei (1 | 0) fehlt der y-Wert.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Der Punkt (2 | 1) liegt auf allen Graphen der Schar k_t(x) = t·x² − 4t + 1.

✓ Wahr

k_t(2) = 4t − 4t + 1 = 1, der Parameter fällt weg. Deshalb liegt (2 | 1) auf jedem Graphen der Schar; wegen der Symmetrie auch (−2 | 1).

Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Bei welchem x liegt die Extremstelle von f_t(x) = x² − 6t·x?

● x = 3t
○ x = 6t
○ x = 3

f_t′(x) = 2x − 6t = 0 liefert x = 3t. Wer x = 6t schreibt, vergisst den Faktor 2 der Ableitung; x = 3 lässt t einfach weg.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Die Extremstelle von f_t(x) = x² − 4t·x liegt für t > 0 bei einem umso größeren x, je größer t ist.

✓ Wahr

f_t′(x) = 2x − 4t = 0 ergibt x = 2t. Die Extremstelle wandert also mit t nach rechts.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Für t = −2 hat f_t(x) = t·x² − 4x an der Extremstelle x = −1 …

○ ein Minimum
○ keine Extremstelle
● ein Maximum

f_t″(x) = 2t = −4 < 0, also liegt bei x = −1 ein Maximum. Ein Minimum wäre die Antwort für t > 0; die Ableitung f_t′(−1) = 4 − 4 = 0 bestätigt die Extremstelle.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Für jedes t ≠ 0 ist die Extremstelle x = 2/t von f_t(x) = t·x² − 4x ein Tiefpunkt.

✓ Falsch

f_t″(x) = 2t. Für t > 0 ist es ein Tiefpunkt, für t < 0 ein Hochpunkt.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Gegeben ist f_t(x) = x³ − 4t·x. Berechne f_t′(1) für t = 2.

✓ Antwort: -5

f_t′(x) = 3x² − 4t. Für x = 1 und t = 2 ist das 3 − 8 = −5.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für h_t(x) = t·(x − 3) + 2 liegt der gemeinsame Punkt aller Graphen bei x = 3. Wie groß ist sein y-Wert?

✓ Antwort: 2

Für x = 3 ist der Klammerterm null: h_t(3) = t · 0 + 2 = 2, unabhängig von t.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Löse f_t′(x) = 0 für f_t(x) = x² − 10t·x und gib die Extremstelle für t = 3 an.

✓ Antwort: 15

f_t′(x) = 2x − 10t = 0 ergibt x = 5t. Für t = 3 ist das x = 15.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Berechne f_t″(x) für f_t(x) = t·x² − 4x mit t = −3.

✓ Antwort: -6

f_t′(x) = 2t·x − 4 und f_t″(x) = 2t = −6.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Für welchen Wert von t hat f_t(x) = x² − t·x an der Stelle x = 3 die Steigung 0?

✓ Antwort: 6

f_t′(x) = 2x − t. Aus f_t′(3) = 6 − t = 0 folgt t = 6.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Alle Graphen der Schar m_t(x) = t·x² − 9t + 5 haben an zwei Stellen denselben y-Wert. Wie lautet die positive dieser Stellen?

✓ Antwort: 3

Der Term mit t verschwindet, wenn x² − 9 = 0 gilt, also für x = 3 und x = −3. Dort ist m_t immer 5.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Die Funktion f_t(x) = x² − 4t·x hat ihre Extremstelle bei x = 8. Bestimme t.

✓ Antwort: 4

Die Extremstelle ist x = 2t (aus 2x − 4t = 0). Aus 2t = 8 folgt t = 4.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Für welches t hat f_t(x) = t·x² − 4x bei x = −1 eine Extremstelle?

✓ Antwort: -2

f_t′(x) = 2t·x − 4. Aus f_t′(−1) = −2t − 4 = 0 folgt t = −2.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Untersuche die Schar f_t(x) = x²·(x − t) mit t > 0. Bestimme die Nullstellen, die Extremstellen in Abhängigkeit von t und gib jeweils an, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: f_t(x) = x³ − t·x², f_t′(x) = 3x² − 2t·x = x·(3x − 2t). Nullstellen: x = 0 (doppelt) und x = t. Extremstellen: x = 0 und x = 2t/3. f_t″(x) = 6x − 2t: f_t″(0) = −2t < 0, also Hochpunkt H(0 | 0); f_t″(2t/3) = 2t > 0, also Tiefpunkt T(2t/3 | −4t³/27).

Die Ableitung ist ein Produkt aus x und (3x − 2t), die beiden Nullstellen liefern die Extremstellen. Das Vorzeichen von f_t″ entscheidet für t > 0: Hochpunkt bei 0, Tiefpunkt bei 2t/3.