Das Integral im Sachkontext
Der Wasserverbrauch einer Stadt wird in mÂł pro Stunde gemessen und durch die Funktion v(t) beschrieben. Was gibt â«âÂČ⎠v(t) dt an?
ErklĂ€rung: v ist eine Rate (mÂł/h); das Integral ĂŒber 24 Stunden ergibt die Menge in mÂł. Die momentane Ănderung wĂ€re vâČ(t), den Durchschnitt erhĂ€lt man erst nach Teilen durch 24.
Die Kurve zeigt die Zuflussrate r(t) eines Beckens in mÂł/h. Die gefĂ€rbte FlĂ€che ĂŒber [0 ; 3] hat den Inhalt 12 (1 FlĂ€cheneinheit = 1 mÂł). Was folgt daraus?
ErklĂ€rung: Die FlĂ€che unter der Rate ist die Ănderung des Bestands: +12 mÂł. Der Bestand selbst hĂ€ngt vom Anfangsbestand ab, und die 4 mÂł pro Stunde wĂ€ren der Mittelwert der Rate, nicht die Ănderung.
Ist r(t) in Litern pro Minute und t in Minuten gegeben, so hat â«ââ” r(t) dt die Einheit Liter pro Minute.
ErklÀrung: Rate mal Zeit: (Liter/Minute) · Minute = Liter. Das Integral ist eine Menge, keine Rate.
Ein Zufluss hat die Rate r(t) = 2t (in Liter pro Minute). Wie viele Liter flieĂen in den ersten 4 Minuten zu?
ErklĂ€rung: â«â⎠2t dt = [tÂČ]â⎠= 16 Liter.
Eine Messstelle zÀhlt r(t) = 30 + 6t Autos pro Minute (0 †t †5, t in Minuten). Wie viele Autos passieren die Messstelle in diesen 5 Minuten?
ErklĂ€rung: â«ââ” (30 + 6t) dt = [30t + 3tÂČ]ââ” = 150 + 75 = 225 Autos.
FĂŒr eine Temperaturkurve T(t) in °C ĂŒber [0 ; 24] (in Stunden) gilt â«âÂČ⎠T(t) dt = 360. Wie groĂ ist die Durchschnittstemperatur?
ErklÀrung: Mittelwert = Integral geteilt durch die LÀnge des Intervalls: 360 : 24 = 15. Wer 360 nennt, vergisst das Teilen, 8 640 = 360 · 24 multipliziert statt zu teilen.
FĂŒr f(x) = xÂČ ĂŒber [0 ; 3] ist der Mittelwert das Mittel der Randwerte, also (0 + 9)/2 = 4,5.
ErklĂ€rung: Der Mittelwert ist (1/3) · â«âÂł xÂČ dx = 9/3 = 3. Das Mittel der Randwerte ignoriert, wie der Graph dazwischen verlĂ€uft.
Die FlĂ€che zwischen dem Graphen von f und der x-Achse ĂŒber [0 ; 4] betrĂ€gt 20. Wie groĂ ist der Mittelwert von f ĂŒber [0 ; 4]?
ErklÀrung: 20 : 4 = 5.
Ein Körper hat die Geschwindigkeit v(t) = 6t (in m/s), 0 †t †4. Wie groà ist seine mittlere Geschwindigkeit in m/s?
ErklĂ€rung: â«â⎠6t dt = [3tÂČ]â⎠= 48, der Mittelwert ist 48 : 4 = 12 m/s. (Er stimmt hier mit dem Mittel der Randwerte 0 und 24 ĂŒberein, weil v linear ist.)
Die Kurve zeigt die Ănderungsrate r(t) der Besucherzahl einer Halle (Personen pro Minute, t in Minuten). Wann ist die Besucherzahl am gröĂten?
ErklĂ€rung: Die Besucherzahl steigt, solange r positiv ist, und fĂ€llt danach. Sie ist am gröĂten bei t = 6, wo r von + nach â wechselt. Bei t = 2 ist die Rate am gröĂten, aber es kommen noch Besucher hinzu.
Die Kurve zeigt die Ănderungsrate r(t) der Besucherzahl einer Halle. Bei t = 2 ist r am gröĂten. Deshalb ist die Besucherzahl bei t = 2 am gröĂten.
ErklĂ€rung: Bei t = 2 steigt die Besucherzahl am schnellsten, sie steigt aber weiter, solange r positiv ist, also bis t = 6. Dort wechselt r von + nach â; dort liegt das Maximum.
Die Ănderungsrate eines Bestands ist r(t) = 4 â t (t in Stunden, 0 †t †8). Bei welchem t ist der Bestand am gröĂten?
ErklĂ€rung: r(t) = 0 bei t = 4; r wechselt dort von + nach â. FĂŒr t < 4 steigt der Bestand, danach fĂ€llt er.
Ein Bestand hat anfangs 10 Einheiten, die Rate ist r(t) = 6 â 2t (0 †t †5). Wie groĂ ist der gröĂte Bestand?
ErklĂ€rung: r(t) = 0 bei t = 3. B(3) = 10 + â«âÂł (6 â 2t) dt = 10 + [6t â tÂČ]âÂł = 10 + 9 = 19. Der Randwert B(5) = 15 und B(0) = 10 sind kleiner.
Ein Speicher enthĂ€lt um 8 Uhr 100 mÂł. Die Ănderungsrate ist r(t) = 12 â 6t in mÂł pro Stunde (t in Stunden seit 8 Uhr, 0 †t †4). Bestimme, wann der Bestand am gröĂten ist und wie groĂ er dann ist, und berechne, wie viel in den letzten beiden Stunden insgesamt abflieĂt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklÀrung: Die Rate wechselt bei t = 2 das Vorzeichen; der Bestand steigt bis dahin um 12 auf 112 m³ und sinkt danach wieder um 12 auf 100 m³.