Das Integral im Sachkontext

The integral in context

Mathematik Klasse 13 14 Aufgaben

AnalysisIntegrationAnwendungen

Der Abschnitt wendet das Integral in Sachzusammenhängen an: Rate und Bestand erkennen und die Einheiten prüfen, den Mittelwert einer Funktion als Höhe eines flächengleichen Rechtecks deuten und die Extremwerte eines Bestands aus dem Vorzeichenwechsel der Rate bestimmen. Er räumt drei Fehler aus: die Rate mit dem Bestand zu verwechseln, den Mittelwert aus den Randwerten zu bilden und den größten Bestand dort zu suchen, wo die Rate am größten ist. Er bereitet das Bewerten von Modellen vor.

Rate und Bestand

Viele Sachprobleme haben dieselbe Struktur: Eine Rate sagt, wie schnell sich ein Bestand ändert. Die Leistung einer Solaranlage in kW ist eine Rate, die erzeugte Energie in kWh der Bestand. Zwischen 6 und 18 Uhr gilt $P (t) = 0, 075 (t - 6) (18 - t)$ . Das Integral über die Rate liefert die Änderung des Bestands: $\int_{6}^{18} P (t) d t = 21, 6$ Die Anlage erzeugt 21,6 kWh. Die Einheit passt: kW · h = kWh. Ebenso gehören Geschwindigkeit und Strecke, Durchfluss und Volumen, Grenzkosten und Gesamtkosten zusammen; die Rate ist immer die Ableitung des Bestands.

Verschiebe b. Bei welchem b ist genau die Hälfte der Tagesenergie erzeugt?

Der Mittelwert

Der Mittelwert einer Funktion über [a ; b] ist das Integral geteilt durch die Länge des Intervalls: $m = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ Für die Solaranlage ist $m = 21, 6 : 12 = 1, 8$ kW. Hätte die Anlage zwölf Stunden lang gleichmäßig 1,8 kW geliefert, wäre die Energie dieselbe: Der Mittelwert ist die Höhe eines Rechtecks mit gleichem Flächeninhalt. Er ist weder der Größtwert 2,7 kW noch das Mittel der Randwerte, denn $P (6) = P (18) = 0$ .

Verändere m, bis die beiden Flächen gleich groß sind. Welchen Wert hat m dann?

Wann ist der Bestand extremal?

Die Anlage lädt einen Speicher, im Haus werden 1,5 kW verbraucht. Die Änderungsrate des Speichers ist $r (t) = P (t) - 1, 5 = - 0, 075 (t - 8) (t - 16)$ ; um 6 Uhr sind 4 kWh gespeichert. Der Speicher wird zwischen 6 und 8 Uhr entladen ( $r < 0$ ), zwischen 8 und 16 Uhr geladen und danach wieder entladen. Der Bestand ist dort extremal, wo die Rate das Vorzeichen wechselt: bei t = 8 liegt $B (8) = 4 - 1, 4 = 2, 6$ kWh, bei t = 16 gilt $B (16) = 2, 6 + 6, 4 = 9$ kWh. Die Ränder gehören zum Vergleich: $B (6) = 4$ , $B (18) = 7, 6$ . Der größte Speicherstand ist 9 kWh um 16 Uhr, nicht um 12 Uhr, wo die Rate am größten ist.

Schiebe b. Der Chip zeigt die Änderung seit 6 Uhr; wo ändert sich sein Trend, und was bedeutet das für den Speicher?

Ermöglicht (1)

Modellieren und bewerten

Klasse 13

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Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Der Wasserverbrauch einer Stadt wird in m³ pro Stunde gemessen und durch die Funktion v(t) beschrieben. Was gibt ∫₀²⁴ v(t) dt an?

● den Gesamtverbrauch an einem Tag in m³
○ die momentane Änderung des Verbrauchs
○ den durchschnittlichen Verbrauch in m³ pro Stunde

v ist eine Rate (m³/h); das Integral über 24 Stunden ergibt die Menge in m³. Die momentane Änderung wäre v′(t), den Durchschnitt erhält man erst nach Teilen durch 24.

Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Die Kurve zeigt die Zuflussrate r(t) eines Beckens in m³/h. Die gefärbte Fläche über [0 ; 3] hat den Inhalt 12 (1 Flächeneinheit = 1 m³). Was folgt daraus?

○ Der Bestand beträgt nach 3 Stunden 12 m³.
● Der Bestand nimmt in diesen 3 Stunden um 12 m³ zu.
○ Der Bestand nimmt pro Stunde um 4 m³ zu.

Die Fläche unter der Rate ist die Änderung des Bestands: +12 m³. Der Bestand selbst hängt vom Anfangsbestand ab, und die 4 m³ pro Stunde wären der Mittelwert der Rate, nicht die Änderung.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Ist r(t) in Litern pro Minute und t in Minuten gegeben, so hat ∫₀⁵ r(t) dt die Einheit Liter pro Minute.

✓ Falsch

Rate mal Zeit: (Liter/Minute) · Minute = Liter. Das Integral ist eine Menge, keine Rate.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Für eine Temperaturkurve T(t) in °C über [0 ; 24] (in Stunden) gilt ∫₀²⁴ T(t) dt = 360. Wie groß ist die Durchschnittstemperatur?

○ 360 °C
● 15 °C
○ 8 640 °C

Mittelwert = Integral geteilt durch die Länge des Intervalls: 360 : 24 = 15. Wer 360 nennt, vergisst das Teilen, 8 640 = 360 · 24 multipliziert statt zu teilen.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Für f(x) = x² über [0 ; 3] ist der Mittelwert das Mittel der Randwerte, also (0 + 9)/2 = 4,5.

✓ Falsch

Der Mittelwert ist (1/3) · ∫₀³ x² dx = 9/3 = 3. Das Mittel der Randwerte ignoriert, wie der Graph dazwischen verläuft.

Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Die Kurve zeigt die Änderungsrate r(t) der Besucherzahl einer Halle (Personen pro Minute, t in Minuten). Wann ist die Besucherzahl am größten?

○ bei t = 2
○ bei t = 10
● bei t = 6

Die Besucherzahl steigt, solange r positiv ist, und fällt danach. Sie ist am größten bei t = 6, wo r von + nach − wechselt. Bei t = 2 ist die Rate am größten, aber es kommen noch Besucher hinzu.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Die Kurve zeigt die Änderungsrate r(t) der Besucherzahl einer Halle. Bei t = 2 ist r am größten. Deshalb ist die Besucherzahl bei t = 2 am größten.

✓ Falsch

Bei t = 2 steigt die Besucherzahl am schnellsten, sie steigt aber weiter, solange r positiv ist, also bis t = 6. Dort wechselt r von + nach −; dort liegt das Maximum.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Zufluss hat die Rate r(t) = 2t (in Liter pro Minute). Wie viele Liter fließen in den ersten 4 Minuten zu?

✓ Antwort: 16

∫₀⁴ 2t dt = [t²]₀⁴ = 16 Liter.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse über [0 ; 4] beträgt 20. Wie groß ist der Mittelwert von f über [0 ; 4]?

✓ Antwort: 5

20 : 4 = 5.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Die Änderungsrate eines Bestands ist r(t) = 4 − t (t in Stunden, 0 ≤ t ≤ 8). Bei welchem t ist der Bestand am größten?

✓ Antwort: 4

r(t) = 0 bei t = 4; r wechselt dort von + nach −. Für t < 4 steigt der Bestand, danach fällt er.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Eine Messstelle zählt r(t) = 30 + 6t Autos pro Minute (0 ≤ t ≤ 5, t in Minuten). Wie viele Autos passieren die Messstelle in diesen 5 Minuten?

✓ Antwort: 225

∫₀⁵ (30 + 6t) dt = [30t + 3t²]₀⁵ = 150 + 75 = 225 Autos.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Körper hat die Geschwindigkeit v(t) = 6t (in m/s), 0 ≤ t ≤ 4. Wie groß ist seine mittlere Geschwindigkeit in m/s?

✓ Antwort: 12

∫₀⁴ 6t dt = [3t²]₀⁴ = 48, der Mittelwert ist 48 : 4 = 12 m/s. (Er stimmt hier mit dem Mittel der Randwerte 0 und 24 überein, weil v linear ist.)

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Bestand hat anfangs 10 Einheiten, die Rate ist r(t) = 6 − 2t (0 ≤ t ≤ 5). Wie groß ist der größte Bestand?

✓ Antwort: 19

r(t) = 0 bei t = 3. B(3) = 10 + ∫₀³ (6 − 2t) dt = 10 + [6t − t²]₀³ = 10 + 9 = 19. Der Randwert B(5) = 15 und B(0) = 10 sind kleiner.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Ein Speicher enthält um 8 Uhr 100 m³. Die Änderungsrate ist r(t) = 12 − 6t in m³ pro Stunde (t in Stunden seit 8 Uhr, 0 ≤ t ≤ 4). Bestimme, wann der Bestand am größten ist und wie groß er dann ist, und berechne, wie viel in den letzten beiden Stunden insgesamt abfließt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: r(t) = 0 bei t = 2, r wechselt von + nach −. B(t) = 100 + ∫₀ᵗ (12 − 6s) ds = 100 + 12t − 3t². B(2) = 112 m³. Ränder: B(0) = 100, B(4) = 100. Größter Bestand 112 m³ um 10 Uhr. In den letzten zwei Stunden ist r negativ: ∫₂⁴ (12 − 6t) dt = −12, es fließen 12 m³ ab.

Die Rate wechselt bei t = 2 das Vorzeichen; der Bestand steigt bis dahin um 12 auf 112 m³ und sinkt danach wieder um 12 auf 100 m³.