Eine Suppe von 90 °C kühlt in einem 20 °C warmen Raum ab (Messpunkte im Bild). Welcher Term eignet sich als Modell?

Erklärung: Die Temperatur nähert sich der Raumtemperatur 20 °C; die Anfangsdifferenz ist 90 − 20 = 70. 90·e^(−kt) würde gegen 0 °C fallen, bei 70 + 20·e^(−kt) sind die beiden Zahlen vertauscht.

Wird der Messwert (10 | 42) in T(t) = 20 + 60·e^(−kt) eingesetzt, entsteht die Gleichung 10 = 20 + 60·e^(−42k).

Erklärung: Die Zeit t = 10 wird für t eingesetzt, der Messwert 42 steht als Ergebnis: 42 = 20 + 60·e^(−10k). Die Koordinaten sind in der Gleichung vertauscht.

Für die Suppe gilt T(t) = 20 + 70·e^(−kt). Nach 10 Minuten werden 48 °C gemessen. Bestimme k auf zwei Nachkommastellen.

Erklärung: 20 + 70·e^(−10k) = 48 ergibt e^(−10k) = 28/70 = 0,4, also k = ln(2,5)/10 ≈ 0,0916 ≈ 0,09.

Mit k = 0,1 gilt T(t) = 20 + 70·e^(−0,1t). Berechne die vorhergesagte Temperatur nach 20 Minuten in °C (auf 0,1 genau).

Erklärung: T(20) = 20 + 70·e^(−2) ≈ 20 + 9,47 = 29,47 ≈ 29,5 °C.

Für die Suppe gilt T′(10) ≈ −2,6 (T in °C, t in Minuten). Wie kühlt die Suppe nach 10 Minuten ab?

Erklärung: T′ ist die momentane Änderungsrate mit der Einheit °C/min: bei t = 10 nimmt die Temperatur um etwa 2,6 °C pro Minute ab. Der Funktionswert T(10) und die Gesamtabnahme wären andere Größen.

Der Ausdruck (1/20) · ∫₀²⁰ T(t) dt gibt die mittlere Temperatur in den ersten 20 Minuten an.

Erklärung: Das Integral geteilt durch die Länge 20 des Intervalls ist der Mittelwert der Funktion T über [0 ; 20].

Für T(t) = 20 + 70·e^(−0,1t) gilt T′(t) = −7·e^(−0,1t). Berechne T′(0) (in °C pro Minute).

Erklärung: T′(0) = −7 · e⁰ = −7. Zu Beginn sinkt die Temperatur am schnellsten, mit 7 °C pro Minute.

Berechne die mittlere Temperatur von T(t) = 20 + 70·e^(−0,1t) über die ersten 20 Minuten (in °C, auf 0,1 genau).

Erklärung: ∫₀²⁰ T dt = 400 + 700·(1 − e^(−2)) ≈ 1005,3. Geteilt durch 20 ergibt das ≈ 50,3 °C.

Ein Modell für die Suppe im 20 °C warmen Raum lautet T(t) = 90·e^(−0,05t). Gegen welchen Wert strebt T(t) für t → ∞, verglichen mit der Raumtemperatur?

Erklärung: Für t → ∞ gilt e^(−0,05t) → 0, also T(t) → 0 °C. Eine Suppe kühlt aber nur bis zur Raumtemperatur ab: Das Modell ist für lange Zeiten unrealistisch. 20 °C wäre der Grenzwert von 20 + 70·e^(−0,05t).

Die Messpunkte einer Suppe im 20 °C-Raum liegen wie im Bild. Welche der beiden Kurven passt als Modell?

Erklärung: Kurve B verläuft durch die Messpunkte und nähert sich der Raumtemperatur 20 °C. Kurve A liegt weit darunter und strebt gegen 0 °C.

Für die Suppe gilt T(t) = 20 + 70·e^(−0,1t) mit t in Minuten seit dem Einschenken. Weil T(−10) ≈ 210 °C ist, kann man das Modell auch für Zeiten vor dem Einschenken benutzen.

Erklärung: T(−10) = 20 + 70·e ≈ 210 °C, so heiß war die Suppe nie. Das Modell wurde für t ≥ 0 aufgestellt und geprüft; außerhalb dieses Bereichs sagt es nichts Verlässliches.

Wogegen strebt T(t) = 20 + 70·e^(−0,1t) für t → ∞ (in °C)?

Erklärung: e^(−0,1t) strebt gegen 0, also T(t) → 20.

Für T(t) = 20 + 70·e^(−0,1t) gilt T(30) ≈ 23,5 °C. Bei t = 30 wird 25,0 °C gemessen. Um wie viel °C weicht das Modell von der Messung ab (Betrag, auf 0,1 genau)?

Erklärung: Die Abweichung ist |25,0 − 23,49| ≈ 1,5 °C. Ob das akzeptabel ist, hängt von der Messgenauigkeit ab.

Eine Suppe (90 °C) steht in einem 20 °C warmen Raum. Zwei Modelle: A(t) = 90·e^(−0,05t) und B(t) = 20 + 70·e^(−0,05t) (t in Minuten). Gemessen wurden 46 °C nach 20 Minuten und 24 °C nach 60 Minuten. Berechne beide Modellwerte für t = 20 und t = 60, vergleiche mit den Messwerten und entscheide mit Begründung, welches Modell passt; gib auch das Grenzverhalten an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: Modell B trifft beide Messwerte auf unter 1 °C und nähert sich der Raumtemperatur; Modell A fällt gegen 0 °C und weicht stark ab.

Aufgabe 1 von 14