Modellieren und bewerten

Modelling and judging

Mathematik Klasse 13 14 Aufgaben

AnalysisModellierenAnwendungen

Der Abschnitt führt einen Modellierungskreislauf am Abkühlen von Tee durch: einen Funktionstyp wählen, den Parameter k aus einem Messwert bestimmen, Ableitung und Integral mit Einheit deuten und das Modell an Grenzverhalten und Messwerten prüfen. Er räumt drei Fehler aus: Parameter ohne Einsetzen des Messwerts zu raten, die Ableitung ohne Einheit als Zahl zu lesen und ein Modell für wahr zu halten, das gegen einen unmöglichen Wert strebt. Er schließt den Kurs ab und verbindet Extremwerte, Parameter und Integral.

Modell aufstellen und anpassen

Ein Tee von 80 °C steht in einem Raum von 20 °C. Nach 5, 10, 20 und 30 Minuten misst man 56, 42, 28,5 und 23,5 °C. Modellieren heißt: Situation verstehen, einen Funktionstyp wählen, die Parameter aus Messwerten bestimmen, rechnen und das Ergebnis deuten. Der Tee nähert sich der Raumtemperatur, also passt $T (t) = 20 + 60 e^{- k t}$ : 20 ist die Raumtemperatur, 60 die Anfangsdifferenz, k die Abkühlrate. Den Wert von k liefert ein Messwert: Aus $T (10) = 42$ folgt $20 + 60 e^{- 10 k} = 42$ , also $e^{- 10 k} = \frac{22}{60}$ und $k = \frac{1}{10} ln \frac{60}{22} \approx 0, 10$ .

Verändere k, bis die Kurve zu den vier Messpunkten passt. Bei welchem k sind die Abweichungen am kleinsten?

Deuten und prüfen

Mit $k = 0, 1$ ist $T^{'} (t) = - 6 e^{- 0, 1 t}$ und $T^{'} (10) = - 6 e^{- 1} \approx - 2, 2$ . Gedeutet mit Einheit: Nach 10 Minuten sinkt die Temperatur momentan um etwa 2,2 °C pro Minute. Das Integral gibt Auskunft über die Gesamtwirkung: $\frac{1}{20} \int_{0}^{20} T (t) d t = 20 + 30 (1 - e^{- 2}) \approx 45, 9$ , die mittlere Temperatur der ersten 20 Minuten. Danach wird das Modell geprüft: Der Definitionsbereich ist t ≥ 0. Für t → ∞ gilt T → 20, das passt. Die Werte stimmen mit den Messungen auf etwa 0,5 °C überein. Ein Modell $80 e^{- 0, 1 t}$ ohne den Summanden 20 würde gegen 0 °C fallen; das ist physikalisch unmöglich. Ein Modell ist ein Werkzeug und gilt nur in dem Bereich, in dem man es geprüft hat.

Verschiebe t₀. Wo sinkt die Temperatur am schnellsten, und wogegen strebt die Kurve?

Voraussetzungen (1)

Das Integral im Sachkontext

Klasse 13

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Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Eine Suppe von 90 °C kühlt in einem 20 °C warmen Raum ab (Messpunkte im Bild). Welcher Term eignet sich als Modell?

● T(t) = 20 + 70·e^(−kt)
○ T(t) = 90·e^(−kt)
○ T(t) = 70 + 20·e^(−kt)

Die Temperatur nähert sich der Raumtemperatur 20 °C; die Anfangsdifferenz ist 90 − 20 = 70. 90·e^(−kt) würde gegen 0 °C fallen, bei 70 + 20·e^(−kt) sind die beiden Zahlen vertauscht.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Wird der Messwert (10 | 42) in T(t) = 20 + 60·e^(−kt) eingesetzt, entsteht die Gleichung 10 = 20 + 60·e^(−42k).

✓ Falsch

Die Zeit t = 10 wird für t eingesetzt, der Messwert 42 steht als Ergebnis: 42 = 20 + 60·e^(−10k). Die Koordinaten sind in der Gleichung vertauscht.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Für die Suppe gilt T′(10) ≈ −2,6 (T in °C, t in Minuten). Wie kühlt die Suppe nach 10 Minuten ab?

○ Nach 10 Minuten beträgt die Temperatur −2,6 °C.
○ In den ersten 10 Minuten sinkt die Temperatur um 2,6 °C.
● Nach 10 Minuten sinkt die Temperatur um etwa 2,6 °C pro Minute.

T′ ist die momentane Änderungsrate mit der Einheit °C/min: bei t = 10 nimmt die Temperatur um etwa 2,6 °C pro Minute ab. Der Funktionswert T(10) und die Gesamtabnahme wären andere Größen.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Der Ausdruck (1/20) · ∫₀²⁰ T(t) dt gibt die mittlere Temperatur in den ersten 20 Minuten an.

✓ Wahr

Das Integral geteilt durch die Länge 20 des Intervalls ist der Mittelwert der Funktion T über [0 ; 20].

Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Ein Modell für die Suppe im 20 °C warmen Raum lautet T(t) = 90·e^(−0,05t). Gegen welchen Wert strebt T(t) für t → ∞, verglichen mit der Raumtemperatur?

○ 20 °C, also gleich der Raumtemperatur
● 0 °C, also unter der Raumtemperatur
○ 90 °C, also über der Raumtemperatur

Für t → ∞ gilt e^(−0,05t) → 0, also T(t) → 0 °C. Eine Suppe kühlt aber nur bis zur Raumtemperatur ab: Das Modell ist für lange Zeiten unrealistisch. 20 °C wäre der Grenzwert von 20 + 70·e^(−0,05t).

Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Die Messpunkte einer Suppe im 20 °C-Raum liegen wie im Bild. Welche der beiden Kurven passt als Modell?

○ Kurve A
○ keine der beiden
● Kurve B

Kurve B verläuft durch die Messpunkte und nähert sich der Raumtemperatur 20 °C. Kurve A liegt weit darunter und strebt gegen 0 °C.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Für die Suppe gilt T(t) = 20 + 70·e^(−0,1t) mit t in Minuten seit dem Einschenken. Weil T(−10) ≈ 210 °C ist, kann man das Modell auch für Zeiten vor dem Einschenken benutzen.

✓ Falsch

T(−10) = 20 + 70·e ≈ 210 °C, so heiß war die Suppe nie. Das Modell wurde für t ≥ 0 aufgestellt und geprüft; außerhalb dieses Bereichs sagt es nichts Verlässliches.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Für die Suppe gilt T(t) = 20 + 70·e^(−kt). Nach 10 Minuten werden 48 °C gemessen. Bestimme k auf zwei Nachkommastellen.

✓ Antwort: 0.09

20 + 70·e^(−10k) = 48 ergibt e^(−10k) = 28/70 = 0,4, also k = ln(2,5)/10 ≈ 0,0916 ≈ 0,09.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für T(t) = 20 + 70·e^(−0,1t) gilt T′(t) = −7·e^(−0,1t). Berechne T′(0) (in °C pro Minute).

✓ Antwort: -7

T′(0) = −7 · e⁰ = −7. Zu Beginn sinkt die Temperatur am schnellsten, mit 7 °C pro Minute.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Wogegen strebt T(t) = 20 + 70·e^(−0,1t) für t → ∞ (in °C)?

✓ Antwort: 20

e^(−0,1t) strebt gegen 0, also T(t) → 20.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Mit k = 0,1 gilt T(t) = 20 + 70·e^(−0,1t). Berechne die vorhergesagte Temperatur nach 20 Minuten in °C (auf 0,1 genau).

✓ Antwort: 29.5

T(20) = 20 + 70·e^(−2) ≈ 20 + 9,47 = 29,47 ≈ 29,5 °C.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne die mittlere Temperatur von T(t) = 20 + 70·e^(−0,1t) über die ersten 20 Minuten (in °C, auf 0,1 genau).

✓ Antwort: 50.3

∫₀²⁰ T dt = 400 + 700·(1 − e^(−2)) ≈ 1005,3. Geteilt durch 20 ergibt das ≈ 50,3 °C.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Für T(t) = 20 + 70·e^(−0,1t) gilt T(30) ≈ 23,5 °C. Bei t = 30 wird 25,0 °C gemessen. Um wie viel °C weicht das Modell von der Messung ab (Betrag, auf 0,1 genau)?

✓ Antwort: 1.5

Die Abweichung ist |25,0 − 23,49| ≈ 1,5 °C. Ob das akzeptabel ist, hängt von der Messgenauigkeit ab.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Eine Suppe (90 °C) steht in einem 20 °C warmen Raum. Zwei Modelle: A(t) = 90·e^(−0,05t) und B(t) = 20 + 70·e^(−0,05t) (t in Minuten). Gemessen wurden 46 °C nach 20 Minuten und 24 °C nach 60 Minuten. Berechne beide Modellwerte für t = 20 und t = 60, vergleiche mit den Messwerten und entscheide mit Begründung, welches Modell passt; gib auch das Grenzverhalten an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: A(20) = 90·e^(−1) ≈ 33,1 und A(60) = 90·e^(−3) ≈ 4,5; B(20) = 20 + 70·e^(−1) ≈ 45,7 und B(60) = 20 + 70·e^(−3) ≈ 23,5. B liegt bei beiden Messwerten (46 und 24) nahe, A weicht um etwa 13 °C bzw. 20 °C ab. Grenzverhalten: A → 0 °C (unter Raumtemperatur, unmöglich), B → 20 °C (Raumtemperatur). Also passt Modell B.

Modell B trifft beide Messwerte auf unter 1 °C und nähert sich der Raumtemperatur; Modell A fällt gegen 0 °C und weicht stark ab.