Funktionsterme aus Bedingungen bestimmen
Der Graph von f geht durch den Punkt P(2 | 5) (siehe Bild). Welche Gleichung folgt daraus?
Erklärung: Der x-Wert 2 wird eingesetzt, der y-Wert 5 steht als Ergebnis: f(2) = 5. f(5) = 2 vertauscht die Koordinaten, fâ˛(2) = 5 meint eine Steigung von 5.
Schneidet der Graph von f die y-Achse bei 4, so gilt f(4) = 0.
Erklärung: Die y-Achse ist die Stelle x = 0. Der Schnittpunkt (0 | 4) bedeutet f(0) = 4. Die Aussage f(4) = 0 beschreibt dagegen eine Nullstelle bei x = 4.
Der Graph von f(x) = a¡x² + 1 geht durch P(2 | 9). Bestimme a.
Erklärung: f(2) = 9 ergibt 4a + 1 = 9, also 4a = 8 und a = 2.
Der Graph von f(x) = a¡âx + 1 geht durch P(4 | 7). Bestimme a.
Erklärung: f(4) = 7 ergibt a¡â4 + 1 = 7, also 2a = 6 und a = 3.
Die Funktion f hat bei x = 3 einen Extrempunkt E (siehe Bild). Welche Gleichung gilt?
Erklärung: An einer Extremstelle ist die Tangente waagrecht, also fâ˛(3) = 0. f(3) = 0 wäre eine Nullstelle, fâł(3) = 0 eine mĂśgliche Wendestelle.
Der Graph von f hat bei x = 1 den markierten Wendepunkt W. Welche Gleichung folgt daraus fĂźr die Stelle 1?
Erklärung: Ein Wendepunkt liegt dort, wo die KrĂźmmung wechselt: fâł(1) = 0. Die Tangente in W ist hier nicht waagrecht, und W liegt nicht auf der x-Achse.
Der Graph von f(x) = x² + b¡x hat bei x = 1 eine waagrechte Tangente. Bestimme b.
Erklärung: fâ˛(x) = 2x + b, und fâ˛(1) = 0 ergibt 2 + b = 0, also b = â2.
Der Graph von f(x) = a¡x² + 3x hat bei x = 1 die Steigung 7. Bestimme a.
Erklärung: fâ˛(x) = 2a¡x + 3, und fâ˛(1) = 7 ergibt 2a + 3 = 7, also a = 2.
Die Fläche zwischen dem Graphen von f_a(x) = a¡x² (a > 0) und der x-Achse ßber [0 ; 2] soll 6 FE betragen. Welche Gleichung liefert a?
Erklärung: Ein vorgegebener Flächeninhalt ist ein Integral: âŤâ² a¡x² dx = 6, also (8/3)¡a = 6. a¡2² = 6 setzt nur den Funktionswert f(2) an, 2¡a = 6 rechnet mit einem Rechteck.
FĂźr f_a(x) = a¡x mit a > 0 gilt âŤââ´ a¡x dx = 4a.
Erklärung: Eine Stammfunktion ist (a/2)¡x², also ist âŤââ´ a¡x dx = (a/2)¡16 = 8a. Der Wert 4a entsteht, wenn man nur die Breite 4 mit a multipliziert und den Anstieg des Graphen ignoriert.
Fßr f_a(x) = a¡x (a > 0) hat die Fläche unter dem Graphen ßber [0 ; 2] den Inhalt 5 FE. Bestimme a.
Erklärung: âŤâ² a¡x dx = (a/2)¡4 = 2a. Aus 2a = 5 folgt a = 2,5.
Die Fläche unter f_a(x) = a¡x³ ßber [0 ; 2] soll 12 FE betragen (a > 0). Bestimme a.
Erklärung: âŤâ² a¡xÂł dx = (a/4)¡16 = 4a. Aus 4a = 12 folgt a = 3.
Der Graph von f(x) = a¡x² + b¡x soll den Tiefpunkt T(2 | â4) haben. Welche beiden Gleichungen ergeben sich?
Erklärung: Der Punkt gibt f(2) = 4a + 2b = â4, das Extremum fâ˛(2) = 4a + b = 0 (fâ˛(x) = 2a¡x + b). Bei 2a + b = 0 fehlt der Faktor 2 aus der Ableitung, im dritten Paar sind die Werte vertauscht.
FĂźr f(x) = xÂł + a¡x liefert die Bedingung fâ˛(0) = 0 den Wert a = 0. Was gilt dann bei x = 0?
Erklärung: FĂźr a = 0 ist f(x) = xÂł mit fâ˛(0) = 0 und fâł(0) = 0. Der Graph steigt vor und nach 0, es ist ein Sattelpunkt. Deshalb reicht fⲠ= 0 allein nicht, man prĂźft die Art.
LĂśse das System a + b = 5 und 2a + b = 8. Wie groĂ ist a?
Erklärung: Die Differenz der Gleichungen ergibt a = 3, und aus a + b = 5 folgt b = 2.
Der Graph von f(x) = a¡x² + b¡x geht durch P(1 | 1) und Q(2 | 6). Bestimme f(3).
Erklärung: a + b = 1 und 4a + 2b = 6. Aus der zweiten Gleichung folgt 2a + b = 3, also a = 2 und b = â1. Dann ist f(3) = 2¡9 â 3 = 15.
Der Graph von f(x) = a¡xÂł + b¡x² soll den Wendepunkt W(1 | â2) haben. Stelle die beiden Bedingungen auf, bestimme a und b und prĂźfe das Ergebnis.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Ein Wendepunkt liefert zwei Bedingungen: Punkt f(1) = â2 und fâł(1) = 0. Das System a + b = â2, 6a + 2b = 0 hat die LĂśsung a = 1, b = â3.