Funktionsterme aus Bedingungen bestimmen

Determining function terms from conditions

Mathematik Klasse 13 17 Aufgaben

AnalysisFunktionenModellieren

Aus Bedingungen an den Graphen werden Gleichungen für die Parameter eines Funktionsterms: ein Punkt liefert f(x₀) = y₀, ein Extremum f′(x₀) = 0, eine Wendestelle f″(x₀) = 0, ein vorgegebener Flächeninhalt ein Integral. Der Abschnitt räumt drei Fehler aus: Punkt-Koordinaten vertauschen, den Funktionswert statt der Ableitung ansetzen und auf die Probe verzichten. Er bereitet die Modellierung und die Extremwertprobleme vor.

Bedingungen in Gleichungen übersetzen

Ein Funktionsterm enthält oft einen unbekannten Parameter, etwa $f_{a} (x) = a x^{2}$ . Bedingungen an den Graphen legen ihn fest, und jede Bedingung wird zu einer Gleichung. Geht der Graph durch P(2 | 3), so gilt $f (2) = 3$ : Der x-Wert wird eingesetzt, der y-Wert steht rechts. Hier folgt $4 a = 3$ , also $a = \frac{3}{4}$ . Bedingungen an das Verhalten des Graphen gehören zur Ableitung: Ein Extrempunkt oder eine waagrechte Tangente bei $x_{0}$ heißt $f^{'} (x_{0}) = 0$ , die Steigung m bei $x_{0}$ heißt $f^{'} (x_{0}) = m$ , eine Wendestelle bei $x_{0}$ heißt $f^{''} (x_{0}) = 0$ . Der Funktionswert kommt nur vor, wenn auch ein Punkt genannt ist.

Verändere a, bis der Graph durch P geht. Welchen Wert zeigt der Chip f_a(2) dann?

Flächeninhalt als Bedingung

Auch ein Integral kann eine Bedingung sein. Soll die Fläche zwischen dem Graphen von $f_{a} (x) = a x^{2}$ (a > 0) und der x-Achse über [0 ; 3] genau 18 FE betragen, so lautet die Gleichung $\int_{0}^{3} a x^{2} d x = 18$ Eine Stammfunktion ist $\frac{a}{3} x^{3}$ , der Parameter bleibt beim Integrieren ein Faktor. Also ist $\int_{0}^{3} a x^{2} d x = 9 a$ , und aus $9 a = 18$ folgt $a = 2$ . Liegt ein Teil des Graphen unter der Achse, unterscheiden sich Integral und Flächeninhalt; dann muss man an den Nullstellen zerlegen.

Verändere a. Bei welchem a hat die blaue Fläche den Wert 18?

Gleichungssystem und Probe

Zwei Parameter brauchen zwei Bedingungen. Der Graph von $f (x) = a x^{3} + b x$ soll den Hochpunkt H(1 | 2) haben. Der Punkt liefert $f (1) = 2$ , also $a + b = 2$ ; das Extremum liefert $f^{'} (1) = 0$ , also $3 a + b = 0$ . Die Differenz der Gleichungen ergibt $2 a = - 2$ , damit $a = - 1$ und $b = 3$ : $f (x) = - x^{3} + 3 x$ . Die Probe gehört dazu: $f^{''} (x) = - 6 x$ und $f^{''} (1) = - 6 < 0$ , es ist tatsächlich ein Hochpunkt. Die Bedingung $f^{'} (1) = 0$ allein sagt nur, dass die Tangente waagrecht ist. Bei $f (x) = x^{3}$ ist $f^{'} (0) = 0$ , und doch liegt dort kein Extremum, sondern ein Sattelpunkt: der Graph steigt vor und nach der Stelle.

Alle Graphen gehen durch H(1 | 2). Bei welchem a ist die Tangente dort waagrecht?

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Der Graph von f geht durch den Punkt P(2 | 5) (siehe Bild). Welche Gleichung folgt daraus?

● f(2) = 5
○ f(5) = 2
○ f′(2) = 5

Der x-Wert 2 wird eingesetzt, der y-Wert 5 steht als Ergebnis: f(2) = 5. f(5) = 2 vertauscht die Koordinaten, f′(2) = 5 meint eine Steigung von 5.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Schneidet der Graph von f die y-Achse bei 4, so gilt f(4) = 0.

✓ Falsch

Die y-Achse ist die Stelle x = 0. Der Schnittpunkt (0 | 4) bedeutet f(0) = 4. Die Aussage f(4) = 0 beschreibt dagegen eine Nullstelle bei x = 4.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Die Funktion f hat bei x = 3 einen Extrempunkt E (siehe Bild). Welche Gleichung gilt?

○ f(3) = 0
● f′(3) = 0
○ f″(3) = 0

An einer Extremstelle ist die Tangente waagrecht, also f′(3) = 0. f(3) = 0 wäre eine Nullstelle, f″(3) = 0 eine mögliche Wendestelle.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Der Graph von f hat bei x = 1 den markierten Wendepunkt W. Welche Gleichung folgt daraus für die Stelle 1?

○ f′(1) = 0
● f″(1) = 0
○ f(1) = 0

Ein Wendepunkt liegt dort, wo die Krümmung wechselt: f″(1) = 0. Die Tangente in W ist hier nicht waagrecht, und W liegt nicht auf der x-Achse.

Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Die Fläche zwischen dem Graphen von f_a(x) = a·x² (a > 0) und der x-Achse über [0 ; 2] soll 6 FE betragen. Welche Gleichung liefert a?

○ a·2² = 6
● ∫₀² a·x² dx = 6
○ 2·a = 6

Ein vorgegebener Flächeninhalt ist ein Integral: ∫₀² a·x² dx = 6, also (8/3)·a = 6. a·2² = 6 setzt nur den Funktionswert f(2) an, 2·a = 6 rechnet mit einem Rechteck.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Für f_a(x) = a·x mit a > 0 gilt ∫₀⁴ a·x dx = 4a.

✓ Falsch

Eine Stammfunktion ist (a/2)·x², also ist ∫₀⁴ a·x dx = (a/2)·16 = 8a. Der Wert 4a entsteht, wenn man nur die Breite 4 mit a multipliziert und den Anstieg des Graphen ignoriert.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = a·x² + b·x soll den Tiefpunkt T(2 | −4) haben. Welche beiden Gleichungen ergeben sich?

● 4a + 2b = −4 und 4a + b = 0
○ 4a + 2b = −4 und 2a + b = 0
○ 4a + 2b = 0 und 4a + b = −4

Der Punkt gibt f(2) = 4a + 2b = −4, das Extremum f′(2) = 4a + b = 0 (f′(x) = 2a·x + b). Bei 2a + b = 0 fehlt der Faktor 2 aus der Ableitung, im dritten Paar sind die Werte vertauscht.

Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Für f(x) = x³ + a·x liefert die Bedingung f′(0) = 0 den Wert a = 0. Was gilt dann bei x = 0?

● Es ist kein Extremum: Sattelpunkt
○ Es ist ein Tiefpunkt
○ Es ist ein Hochpunkt

Für a = 0 ist f(x) = x³ mit f′(0) = 0 und f″(0) = 0. Der Graph steigt vor und nach 0, es ist ein Sattelpunkt. Deshalb reicht f′ = 0 allein nicht, man prüft die Art.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = a·x² + 1 geht durch P(2 | 9). Bestimme a.

✓ Antwort: 2

f(2) = 9 ergibt 4a + 1 = 9, also 4a = 8 und a = 2.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = x² + b·x hat bei x = 1 eine waagrechte Tangente. Bestimme b.

✓ Antwort: -2

f′(x) = 2x + b, und f′(1) = 0 ergibt 2 + b = 0, also b = −2.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Für f_a(x) = a·x (a > 0) hat die Fläche unter dem Graphen über [0 ; 2] den Inhalt 5 FE. Bestimme a.

✓ Antwort: 2.5

∫₀² a·x dx = (a/2)·4 = 2a. Aus 2a = 5 folgt a = 2,5.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Löse das System a + b = 5 und 2a + b = 8. Wie groß ist a?

✓ Antwort: 3

Die Differenz der Gleichungen ergibt a = 3, und aus a + b = 5 folgt b = 2.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = a·√x + 1 geht durch P(4 | 7). Bestimme a.

✓ Antwort: 3

f(4) = 7 ergibt a·√4 + 1 = 7, also 2a = 6 und a = 3.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = a·x² + 3x hat bei x = 1 die Steigung 7. Bestimme a.

✓ Antwort: 2

f′(x) = 2a·x + 3, und f′(1) = 7 ergibt 2a + 3 = 7, also a = 2.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Die Fläche unter f_a(x) = a·x³ über [0 ; 2] soll 12 FE betragen (a > 0). Bestimme a.

✓ Antwort: 3

∫₀² a·x³ dx = (a/4)·16 = 4a. Aus 4a = 12 folgt a = 3.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = a·x² + b·x geht durch P(1 | 1) und Q(2 | 6). Bestimme f(3).

✓ Antwort: 15

a + b = 1 und 4a + 2b = 6. Aus der zweiten Gleichung folgt 2a + b = 3, also a = 2 und b = −1. Dann ist f(3) = 2·9 − 3 = 15.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = a·x³ + b·x² soll den Wendepunkt W(1 | −2) haben. Stelle die beiden Bedingungen auf, bestimme a und b und prüfe das Ergebnis. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: f(1) = −2 ergibt a + b = −2. Wendestelle: f″(x) = 6a·x + 2b, also f″(1) = 6a + 2b = 0. Aus 6a + 2b = 0 folgt b = −3a, in a + b = −2 eingesetzt: −2a = −2, a = 1 und b = −3. f(x) = x³ − 3x². Probe: f(1) = −2 und f″(x) = 6x − 6 mit Vorzeichenwechsel bei x = 1.

Ein Wendepunkt liefert zwei Bedingungen: Punkt f(1) = −2 und f″(1) = 0. Das System a + b = −2, 6a + 2b = 0 hat die Lösung a = 1, b = −3.