VerknĂŒpfte Funktionen
Welche Definitionsmenge hat f(x) = ln(x â 2)?
ErklĂ€rung: Der Logarithmus verlangt ein positives Argument: x â 2 > 0, also x > 2. x > 0 gilt fĂŒr ln(x), nicht fĂŒr ln(x â 2); bei x = 2 wĂ€re das Argument 0, und ln 0 ist nicht definiert.
Welche Definitionsmenge hat f(x) = ln(3 â x)?
ErklĂ€rung: Das Argument 3 â x muss positiv sein: 3 â x > 0 ergibt x < 3 (beim Umstellen dreht sich das Ungleichheitszeichen). x > 3 vertauscht die Richtung, x > â3 verwechselt das Vorzeichen der Grenze.
Die Funktion f(x) = ln(xÂČ) ist an der Stelle x = â3 definiert.
ErklĂ€rung: Positiv sein muss das Argument xÂČ. FĂŒr x = â3 ist xÂČ = 9 > 0, also f(â3) = ln 9. Nur x = 0 ist ausgeschlossen. Die Bedingung x > 0 gilt fĂŒr das Argument, nicht fĂŒr x.
Die Definitionsmenge von f(x) = ln(x + 5) lautet x > a. Bestimme a.
ErklĂ€rung: x + 5 > 0 ergibt x > â5, also a = â5.
Die Definitionsmenge von f(x) = ln(6 â 2x) lautet x < a. Bestimme a.
ErklĂ€rung: 6 â 2x > 0 ergibt 2x < 6, also x < 3 (Vorzeichenwechsel beim Umstellen). a = 3.
Welche Nullstellen hat f(x) = e^(âx) · (x â 3)?
ErklĂ€rung: Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist. e^(âx) ist immer positiv, also bleibt nur x â 3 = 0. x = 0 gehört zu e^0 = 1, nicht zur Nullstelle.
Die Funktion f(x) = ln(x)/x hat die Nullstelle x = 1.
ErklĂ€rung: Ein Bruch ist null, wenn der ZĂ€hler null ist und der Nenner nicht: ln 1 = 0 und 1 â 0. Also ist x = 1 Nullstelle.
Bestimme die Nullstelle von f(x) = (x â 4) · e^x.
ErklĂ€rung: e^x ist nie null, es bleibt x â 4 = 0, also x = 4.
Wie viele Nullstellen hat f(x) = e^(âx) · sin x im Intervall [0 ; 10]?
ErklĂ€rung: e^(âx) ist nie null, also zĂ€hlen die Nullstellen von sin x: 0, Ï, 2Ï und 3Ï â 9,42. Der nĂ€chste Wert 4Ï â 12,57 liegt auĂerhalb.
Was passiert mit f(x) = x · e^(âx) fĂŒr x â â?
ErklĂ€rung: e^(âx) geht schneller gegen 0, als x wĂ€chst; der Faktor x wird ĂŒberstimmt. Die Aussage f(x) â â liest nur den Faktor x, f(x) â 1 hat keinen Grund.
FĂŒr f(x) = e^(âx) · sin x gilt f(x) â 0 fĂŒr x â â.
ErklĂ€rung: Wegen â1 †sin x †1 liegt f zwischen âe^(âx) und e^(âx), und beide EinhĂŒllenden gehen gegen 0.
Gegen welchen Wert strebt x / e^x fĂŒr x â â?
ErklĂ€rung: Der Nenner wĂ€chst schneller als der ZĂ€hler. Genauso gilt x · e^(âx) â 0.
Die Funktion f(x) = 4 â x · e^(âx) hat fĂŒr x â â eine waagrechte Asymptote y = c. Bestimme c.
ErklĂ€rung: x · e^(âx) â 0, also f(x) â 4 â 0 = 4.
FĂŒr f(x) = x · e^(âx) gilt fâČ(x) = (1 â x) · e^(âx). FĂŒr welche x ist fâČ(x) > 0?
ErklĂ€rung: e^(âx) ist immer positiv, also entscheidet 1 â x: positiv fĂŒr x < 1. âFĂŒr alle xâ liest das Vorzeichen nur am e-Faktor ab, x > 1 verwechselt das Vorzeichen.
FĂŒr f(x) = e^(âx) · sin x gilt fâČ(x) = e^(âx) · (cos x â sin x). Welche Gleichung liefert die Extremstellen?
ErklĂ€rung: fâČ(x) = 0 verlangt, dass ein Faktor null ist. e^(âx) wird nie null, also gilt cos x â sin x = 0, das heiĂt tan x = 1. Das Pluszeichen wĂ€re ein Vorzeichenfehler beim Ableiten.
FĂŒr f(x) = ln(x)/x gilt fâČ(x) = (1 â ln x)/xÂČ. Bestimme die Extremstelle auf zwei Nachkommastellen.
ErklĂ€rung: fâČ(x) = 0 verlangt 1 â ln x = 0, also ln x = 1 und x = e â 2,72. Der Nenner xÂČ ist positiv und beeinflusst die Nullstelle nicht.
Berechne den Extremwert f(e) von f(x) = ln(x)/x auf zwei Nachkommastellen.
ErklĂ€rung: f(e) = ln e / e = 1/e â 0,3679, gerundet 0,37. Es ist ein Hochpunkt.
Untersuche f(x) = xÂČ Â· e^(âx) auf Definitionsmenge, Nullstellen, Verhalten fĂŒr x â â sowie Extremstellen. Gib Art und Koordinaten der Extrempunkte an.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: Der Faktor e^(âx) ist nie null; deshalb liefern Nullstelle und Extremstellen nur xÂČ. Die zweite Ableitung zeigt Tiefpunkt bei 0 und Hochpunkt bei 2.