Verknüpfte Funktionen

Combined functions

Mathematik Klasse 13 18 Aufgaben

AnalysisExponentiellLogarithmusSinus

Verknüpfte Funktionen wie ln(x)/x oder e^(−x)·sin x untersucht man in vier Schritten: Definitionsmenge, Nullstellen, Verhalten für x → ∞ und Extremstellen. Der Abschnitt räumt vier Fehler aus: das Argument von ln nicht auf Positivität zu prüfen, eine e-Funktion für null zu halten, das Wachstum der Faktoren falsch zu vergleichen und das Vorzeichen von f′ am e-Faktor abzulesen. Er bereitet das Auswerten von Modellen mit e-Funktion im Sachkontext vor.

Definitionsmenge und Nullstellen

Bei verknüpften Funktionen prüft man zuerst, wo der Term überhaupt definiert ist. Für $f (x) = \frac{ln x}{x}$ braucht der Logarithmus ein positives Argument, der Nenner verlangt x ≠ 0: Die Definitionsmenge ist x > 0. Bei $ln (x - 2)$ wäre es x > 2, denn das Argument muss positiv sein, nicht x selbst. Nullstellen: Ein Bruch ist null, wenn der Zähler null ist, also $ln x = 0$ und damit x = 1. Bei einem Produkt genügt ein verschwindender Faktor. Eine e-Funktion ist nie null: $e^{- x} (x - 3) = 0$ hat nur die Lösung x = 3, und $e^{- x} = 0$ hat keine.

Graph von ln(x)/x: Nullstelle bei x = 1, für x → 0 fällt er ins Unendliche.

Verhalten für x → ∞

Weit rechts entscheidet der schnellere Faktor. Die e-Funktion gewinnt: $e^{- x}$ geht schneller gegen null, als x wächst, also ist $x e^{- x} \to 0$ . Der Logarithmus verliert gegen jede Potenz: $\frac{ln x}{x} \to 0$ . Bei $f (x) = e^{- x} sin x$ pendelt sin x zwischen −1 und 1, der Faktor $e^{- x}$ presst die Ausschläge zusammen. Es gilt $- e^{- x} \leq f (x) \leq e^{- x}$ ; die beiden Kurven $\pm e^{- x}$ heißen Einhüllende, und f(x) → 0.

Verschiebe x₀ und k (gestrichelt: sin x). Der Punkt bleibt zwischen den Einhüllenden; wie ändert sich sein Abstand von der x-Achse für große x₀?

Extremstellen

Beim Ableiten liefern Produkt- und Kettenregel meist einen Faktor mit der e-Funktion. Er ist immer positiv, das Vorzeichen von f′ entscheidet der andere Faktor. Für $f (x) = \frac{ln x}{x}$ ist $f^{'} (x) = \frac{1 - ln x}{x ^{2}}$ : Der Nenner ist positiv, also zählt $1 - ln x$ . Nullstelle bei x = e, links positiv, rechts negativ: Hochpunkt $H (e ∣ \frac{1}{e}) \approx (2, 72 ∣ 0, 37)$ . Für $f (x) = e^{- x} sin x$ gilt $f^{'} (x) = e^{- x} (cos x - sin x)$ . Aus $cos x = sin x$ folgt $tan x = 1$ , also $x = \frac{π}{4} + k π$ : der erste Hochpunkt liegt bei $x = \frac{π}{4} \approx 0, 79$ mit $f \approx 0, 32$ , der folgende Tiefpunkt bei $x = \frac{5 π}{4}$ , dem Betrag nach viel kleiner.

Graph von e^(−x)·sin x zwischen den Einhüllenden ±e^(−x) (gestrichelt): flacher Hochpunkt links, kaum sichtbarer Tiefpunkt.

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche Definitionsmenge hat f(x) = ln(x − 2)?

○ x > 0
● x > 2
○ x ≥ 2

Der Logarithmus verlangt ein positives Argument: x − 2 > 0, also x > 2. x > 0 gilt für ln(x), nicht für ln(x − 2); bei x = 2 wäre das Argument 0, und ln 0 ist nicht definiert.

Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Welche Definitionsmenge hat f(x) = ln(3 − x)?

○ x > 3
● x < 3
○ x > −3

Das Argument 3 − x muss positiv sein: 3 − x > 0 ergibt x < 3 (beim Umstellen dreht sich das Ungleichheitszeichen). x > 3 vertauscht die Richtung, x > −3 verwechselt das Vorzeichen der Grenze.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = ln(x²) ist an der Stelle x = −3 definiert.

✓ Wahr

Positiv sein muss das Argument x². Für x = −3 ist x² = 9 > 0, also f(−3) = ln 9. Nur x = 0 ist ausgeschlossen. Die Bedingung x > 0 gilt für das Argument, nicht für x.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Welche Nullstellen hat f(x) = e^(−x) · (x − 3)?

● nur x = 3
○ x = 3 und x = 0
○ keine

Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist. e^(−x) ist immer positiv, also bleibt nur x − 3 = 0. x = 0 gehört zu e^0 = 1, nicht zur Nullstelle.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = ln(x)/x hat die Nullstelle x = 1.

✓ Wahr

Ein Bruch ist null, wenn der Zähler null ist und der Nenner nicht: ln 1 = 0 und 1 ≠ 0. Also ist x = 1 Nullstelle.

Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Was passiert mit f(x) = x · e^(−x) für x → ∞?

○ f(x) → ∞
○ f(x) → 1
● f(x) → 0

e^(−x) geht schneller gegen 0, als x wächst; der Faktor x wird überstimmt. Die Aussage f(x) → ∞ liest nur den Faktor x, f(x) → 1 hat keinen Grund.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Für f(x) = e^(−x) · sin x gilt f(x) → 0 für x → ∞.

✓ Wahr

Wegen −1 ≤ sin x ≤ 1 liegt f zwischen −e^(−x) und e^(−x), und beide Einhüllenden gehen gegen 0.

Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Für f(x) = x · e^(−x) gilt f′(x) = (1 − x) · e^(−x). Für welche x ist f′(x) > 0?

○ x > 1
○ für alle x
● x < 1

e^(−x) ist immer positiv, also entscheidet 1 − x: positiv für x < 1. „Für alle x“ liest das Vorzeichen nur am e-Faktor ab, x > 1 verwechselt das Vorzeichen.

Multiple Choice #9 25s ▶ Testen

Für f(x) = e^(−x) · sin x gilt f′(x) = e^(−x) · (cos x − sin x). Welche Gleichung liefert die Extremstellen?

○ e^(−x) = 0
● cos x − sin x = 0
○ cos x + sin x = 0

f′(x) = 0 verlangt, dass ein Faktor null ist. e^(−x) wird nie null, also gilt cos x − sin x = 0, das heißt tan x = 1. Das Pluszeichen wäre ein Vorzeichenfehler beim Ableiten.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Definitionsmenge von f(x) = ln(x + 5) lautet x > a. Bestimme a.

✓ Antwort: -5

x + 5 > 0 ergibt x > −5, also a = −5.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Bestimme die Nullstelle von f(x) = (x − 4) · e^x.

✓ Antwort: 4

e^x ist nie null, es bleibt x − 4 = 0, also x = 4.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Gegen welchen Wert strebt x / e^x für x → ∞?

✓ Antwort: 0

Der Nenner wächst schneller als der Zähler. Genauso gilt x · e^(−x) → 0.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Für f(x) = ln(x)/x gilt f′(x) = (1 − ln x)/x². Bestimme die Extremstelle auf zwei Nachkommastellen.

✓ Antwort: 2.72

f′(x) = 0 verlangt 1 − ln x = 0, also ln x = 1 und x = e ≈ 2,72. Der Nenner x² ist positiv und beeinflusst die Nullstelle nicht.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Definitionsmenge von f(x) = ln(6 − 2x) lautet x < a. Bestimme a.

✓ Antwort: 3

6 − 2x > 0 ergibt 2x < 6, also x < 3 (Vorzeichenwechsel beim Umstellen). a = 3.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Wie viele Nullstellen hat f(x) = e^(−x) · sin x im Intervall [0 ; 10]?

✓ Antwort: 4

e^(−x) ist nie null, also zählen die Nullstellen von sin x: 0, π, 2π und 3π ≈ 9,42. Der nächste Wert 4π ≈ 12,57 liegt außerhalb.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = 4 − x · e^(−x) hat für x → ∞ eine waagrechte Asymptote y = c. Bestimme c.

✓ Antwort: 4

x · e^(−x) → 0, also f(x) → 4 − 0 = 4.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Berechne den Extremwert f(e) von f(x) = ln(x)/x auf zwei Nachkommastellen.

✓ Antwort: 0.37

f(e) = ln e / e = 1/e ≈ 0,3679, gerundet 0,37. Es ist ein Hochpunkt.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Untersuche f(x) = x² · e^(−x) auf Definitionsmenge, Nullstellen, Verhalten für x → ∞ sowie Extremstellen. Gib Art und Koordinaten der Extrempunkte an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Definitionsmenge ℝ. Nullstelle: e^(−x) ≠ 0, also x² = 0, x = 0 (doppelt). Für x → ∞ gilt f(x) → 0, weil e^(−x) schneller fällt als x² wächst. f′(x) = (2x − x²)·e^(−x) = x·(2 − x)·e^(−x) = 0 ergibt x = 0 und x = 2. f″(x) = (x² − 4x + 2)·e^(−x): f″(0) = 2 > 0, also Tiefpunkt T(0 | 0); f″(2) = −2e^(−2) < 0, also Hochpunkt H(2 | 4e^(−2)) ≈ (2 | 0,54).

Der Faktor e^(−x) ist nie null; deshalb liefern Nullstelle und Extremstellen nur x². Die zweite Ableitung zeigt Tiefpunkt bei 0 und Hochpunkt bei 2.