Definitionsmenge und Nullstellen
Welche Zahl gehört nicht zur Definitionsmenge von f(x) = (x + 3)/(x − 5)?
Erklärung: Der Nenner x − 5 wird bei x = 5 null. −3 macht nur den Zähler null: f(−3) = 0 ist erklärt. Auch f(0) = −0,6 ist erklärt.
Der Graph gehört zu einer gebrochen-rationalen Funktion f. Wie lautet ihre maximale Definitionsmenge?
Erklärung: Der Graph ist bei x = 2 unterbrochen: Dort wird der Nenner null. Bei x = −1 schneidet er nur die x-Achse (der Zähler ist null), f(−1) = 0 ist erklärt.
Für f(x) = 6/(2x − 8) ist genau eine Zahl nicht in der Definitionsmenge. Sie lautet x = ___
Erklärung: 2x − 8 = 0 ergibt 2x = 8, also x = 4. Für x = 4 ist der Nenner null.
Wie viele der Zahlen −3, 0, 1 und 4 gehören für f(x) = 1/((x − 1)(x + 3)) nicht zur Definitionsmenge?
Erklärung: Der Nenner (x − 1)(x + 3) ist null für x = 1 und x = −3, also fallen zwei der vier Zahlen heraus. 0 und 4 sind erlaubt.
Welche reellen Zahlen schließt der Nenner von f(x) = 5/(x² + 9) aus?
Erklärung: x² + 9 = 0 hätte x² = −9 zur Folge, und ein Quadrat ist nie negativ. Der Nenner wird nie null, also ist D = ℝ. x = ±3 gehört zu x² − 9, nicht zu x² + 9.
Welcher Term gehört zum Graphen?
Erklärung: Der Graph hat drei Äste: zwei ausgeschlossene Stellen, x = 2 und x = −2. Das passt zu x² − 4 = 0. x² + 4 wird nie null (ein durchgehender Graph), x − 2 schließt nur x = 2 aus (zwei Äste).
Der Nenner x² − 81 wird null für x = −9 und für x = ___
Erklärung: x² − 81 = 0 gibt x² = 81, also x = 9 oder x = −9. Zu jeder positiven Lösung gehört die entgegengesetzte.
Der Nenner von f(x) = 3/(x² − 12x + 36) wird nur für eine einzige Zahl null. Für welche?
Erklärung: Mit der zweiten binomischen Formel ist x² − 12x + 36 = (x − 6)². Das Quadrat ist genau bei x = 6 null: eine einzige ausgeschlossene Stelle.
Welche Zahl ist eine Nullstelle von f(x) = (x − 4)/(x + 1)?
Erklärung: Der Zähler x − 4 wird bei x = 4 null, der Nenner ist dort 5. Bei x = −1 wird der Nenner null: Dort ist f gar nicht erklärt.
Der Graph gehört zu f(x) = (x² − x − 2)/(x² − 9). Wie viele Nullstellen hat f?
Erklärung: Nullstellen sind nur Nullstellen des Zählers: x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1) ergibt x = 2 und x = −1. Die Nullstellen des Nenners, ±3, sind ausgeschlossen, und der Graph schneidet die x-Achse zweimal.
Die Nullstellen von f(x) = (x − 2)(x + 6)/(x² + 4) sind x = 2 und x = ___
Erklärung: Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x + 6 = 0 ergibt x = −6. Der Nenner x² + 4 ist nie null.
f(x) = (3x − 12)/(x² + 2). An welcher Stelle schneidet der Graph die x-Achse?
Erklärung: 3x − 12 = 0 ergibt x = 4. Der Nenner ist dort 4² + 2 = 18, nicht null, also ist x = 4 eine Nullstelle von f.
Welche Zerlegung in Linearfaktoren gehört zu x² − 2x − 15?
Erklärung: Gesucht sind zwei Zahlen mit Produkt −15 und Summe −2: 3 und −5. Also (x + 3)(x − 5), ausmultipliziert x² − 2x − 15. (x − 3)(x + 5) ergäbe x² + 2x − 15, (x + 3)(x + 5) ergäbe x² + 8x + 15.
Die Parabel y = x² + 2x − 8 ist gezeichnet. Welche Zerlegung in Linearfaktoren passt?
Erklärung: Die Parabel schneidet die x-Achse bei x = −4 und x = 2. Zu x = −4 gehört der Faktor (x + 4), zu x = 2 der Faktor (x − 2): Das Vorzeichen im Faktor kehrt sich um. Ausmultipliziert: x² + 2x − 8.
Die Parabel y = x² − 4x + 3 ist gezeichnet. Es gilt x² − 4x + 3 = (x + 1)(x + 3).
Erklärung: Ausmultipliziert ist (x + 1)(x + 3) = x² + 4x + 3, das Vorzeichen des mittleren Glieds stimmt nicht. Richtig ist x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3).
Es gilt x² + 2x − 8 = (x + 4)(x − a). Dann ist a = ___
Erklärung: Die Summe der Zahlen 4 und −a ist 2, ihr Produkt −8: (x + 4)(x − 2) = x² + 2x − 8. Also a = 2.
f(x) = (x² − x − 12)/(x² + 1). Die kleinere der beiden Nullstellen ist x = ___
Erklärung: Zerlegt: x² − x − 12 = (x − 4)(x + 3), die Nullstellen sind 4 und −3. Der Nenner x² + 1 ist nie null. Die kleinere ist −3.
Gegeben ist f(x) = (x² − 5x + 4)/(x² + x − 12). Zerlege Zähler und Nenner in Linearfaktoren, bestimme die maximale Definitionsmenge und alle Nullstellen von f und begründe, warum die Nullstellen des Nenners keine Nullstellen von f sind.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Zähler und Nenner zerlegen ergibt (x − 1)(x − 4)/((x + 4)(x − 3)). D schließt −4 und 3 aus, die Nullstellen 1 und 4 kommen aus dem Zähler.