Definitionsmenge und Nullstellen

Domain and zeros

Mathematik Klasse 11 18 Aufgaben
AnalysisGebrochen-rationale Funktionen

Ein Bruchterm ist nur erklärt, solange der Nenner nicht null ist: Die maximale Definitionsmenge schließt die Nullstellen des Nenners aus, bei x² − c sind das zwei, eine oder keine Zahl. Die Nullstellen der Funktion stammen aus dem Zähler, und Linearfaktoren zeigen sie auf einen Blick. Der Abschnitt räumt die Fehlvorstellung aus, auch die Nullstellen des Zählers seien ausgeschlossen, und bereitet die Unterscheidung von Polstelle und Lücke sowie die Prüfung von Lösungen bei Bruchgleichungen vor (Arcavi 1994: Produktform lesen).

Wo der Term definiert ist

Ein Bruch ist nur erklärt, solange sein Nenner nicht null ist. Die maximale Definitionsmenge einer gebrochen-rationalen Funktion enthält deshalb alle reellen Zahlen bis auf die Nullstellen des Nenners. Bei wird für und null, also gilt . Der Nenner wird nie null, dann ist . Wie viele Zahlen ein Nenner ausschließt, entscheidet c: zwei, eine oder keine. Die Nullstellen des Zählers bleiben dagegen in D, denn dort ist der Bruch erklärt und gleich null: Ausgeschlossen wird nur, was den Nenner null macht. Man löst dazu die Gleichung Nenner = 0 und streicht deren Lösungen aus den reellen Zahlen.

Ändere c. Bei welchen Werten von c gibt es keine ausgeschlossene Stelle? n zählt die ausgeschlossenen Stellen.

Nullstellen und Linearfaktoren

Ein Bruch ist null, wenn sein Zähler null ist, und der Nenner an dieser Stelle nicht. Die Nullstellen von f sind also Nullstellen des Zählers. Wer Zähler und Nenner als Produkt von Linearfaktoren schreibt, liest beides ab: hat die Nullstellen −2 und 3, das Vorzeichen im Faktor kehrt sich um. Bei sind p und −2 die Nullstellen, 3 und −4 fehlen in D. Ein Produkt zeigt die Nullstellen, eine Summe verbirgt sie. Beim Zerlegen suchst du zwei Zahlen mit Produkt −6 und Summe −1: Das sind 2 und −3. Steht derselbe Faktor oben und unten, ist diese Zahl keine Nullstelle, denn dort ist der Nenner null: Ausgeschlossene Zahlen sind nie Nullstellen. Aus der Produktform liest man auf einen Blick, welche Zahlen den Term null machen.

Verschiebe p. Welche Nullstellen bleiben stehen, welche Stellen bleiben ausgeschlossen?

Ermöglicht (2)

Polstelle oder Lücke
Klasse 11
›
Schnittpunkte über Bruchgleichungen
Klasse 11
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Zahl gehört nicht zur Definitionsmenge von f(x) = (x + 3)/(x − 5)?

  • ● 5
  • ○ −3
  • ○ 0
Der Nenner x − 5 wird bei x = 5 null. −3 macht nur den Zähler null: f(−3) = 0 ist erklärt. Auch f(0) = −0,6 ist erklärt.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Der Graph gehört zu einer gebrochen-rationalen Funktion f. Wie lautet ihre maximale Definitionsmenge?

  • ● ℝ \ {2}
  • ○ ℝ \ {−1}
  • ○ ℝ
Der Graph ist bei x = 2 unterbrochen: Dort wird der Nenner null. Bei x = −1 schneidet er nur die x-Achse (der Zähler ist null), f(−1) = 0 ist erklärt.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welche reellen Zahlen schließt der Nenner von f(x) = 5/(x² + 9) aus?

  • ● keine
  • ○ x = 3 und x = −3
  • ○ x = −9
x² + 9 = 0 hätte x² = −9 zur Folge, und ein Quadrat ist nie negativ. Der Nenner wird nie null, also ist D = ℝ. x = ±3 gehört zu x² − 9, nicht zu x² + 9.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Welcher Term gehört zum Graphen?

  • ● f(x) = 4/(x² − 4)
  • ○ f(x) = 4/(x² + 4)
  • ○ f(x) = 4/(x − 2)
Der Graph hat drei Äste: zwei ausgeschlossene Stellen, x = 2 und x = −2. Das passt zu x² − 4 = 0. x² + 4 wird nie null (ein durchgehender Graph), x − 2 schließt nur x = 2 aus (zwei Äste).
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welche Zahl ist eine Nullstelle von f(x) = (x − 4)/(x + 1)?

  • ● 4
  • ○ −1
  • ○ 1
Der Zähler x − 4 wird bei x = 4 null, der Nenner ist dort 5. Bei x = −1 wird der Nenner null: Dort ist f gar nicht erklärt.
Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

Der Graph gehört zu f(x) = (x² − x − 2)/(x² − 9). Wie viele Nullstellen hat f?

  • ● zwei
  • ○ vier
  • ○ keine
Nullstellen sind nur Nullstellen des Zählers: x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1) ergibt x = 2 und x = −1. Die Nullstellen des Nenners, ±3, sind ausgeschlossen, und der Graph schneidet die x-Achse zweimal.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welche Zerlegung in Linearfaktoren gehört zu x² − 2x − 15?

  • ● (x + 3)(x − 5)
  • ○ (x − 3)(x + 5)
  • ○ (x + 3)(x + 5)
Gesucht sind zwei Zahlen mit Produkt −15 und Summe −2: 3 und −5. Also (x + 3)(x − 5), ausmultipliziert x² − 2x − 15. (x − 3)(x + 5) ergäbe x² + 2x − 15, (x + 3)(x + 5) ergäbe x² + 8x + 15.
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Die Parabel y = x² + 2x − 8 ist gezeichnet. Welche Zerlegung in Linearfaktoren passt?

  • ● (x + 4)(x − 2)
  • ○ (x − 4)(x + 2)
  • ○ (x + 4)(x + 2)
Die Parabel schneidet die x-Achse bei x = −4 und x = 2. Zu x = −4 gehört der Faktor (x + 4), zu x = 2 der Faktor (x − 2): Das Vorzeichen im Faktor kehrt sich um. Ausmultipliziert: x² + 2x − 8.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Die Parabel y = x² − 4x + 3 ist gezeichnet. Es gilt x² − 4x + 3 = (x + 1)(x + 3).

✓ Falsch
Ausmultipliziert ist (x + 1)(x + 3) = x² + 4x + 3, das Vorzeichen des mittleren Glieds stimmt nicht. Richtig ist x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3).
Mittel
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Für f(x) = 6/(2x − 8) ist genau eine Zahl nicht in der Definitionsmenge. Sie lautet x = ___

✓ Antwort: 4
2x − 8 = 0 ergibt 2x = 8, also x = 4. Für x = 4 ist der Nenner null.
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Der Nenner x² − 81 wird null für x = −9 und für x = ___

✓ Antwort: 9
x² − 81 = 0 gibt x² = 81, also x = 9 oder x = −9. Zu jeder positiven Lösung gehört die entgegengesetzte.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Die Nullstellen von f(x) = (x − 2)(x + 6)/(x² + 4) sind x = 2 und x = ___

✓ Antwort: -6
Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x + 6 = 0 ergibt x = −6. Der Nenner x² + 4 ist nie null.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Es gilt x² + 2x − 8 = (x + 4)(x − a). Dann ist a = ___

✓ Antwort: 2
Die Summe der Zahlen 4 und −a ist 2, ihr Produkt −8: (x + 4)(x − 2) = x² + 2x − 8. Also a = 2.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Wie viele der Zahlen −3, 0, 1 und 4 gehören für f(x) = 1/((x − 1)(x + 3)) nicht zur Definitionsmenge?

✓ Antwort: 2
Der Nenner (x − 1)(x + 3) ist null für x = 1 und x = −3, also fallen zwei der vier Zahlen heraus. 0 und 4 sind erlaubt.
Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Der Nenner von f(x) = 3/(x² − 12x + 36) wird nur für eine einzige Zahl null. Für welche?

✓ Antwort: 6
Mit der zweiten binomischen Formel ist x² − 12x + 36 = (x − 6)². Das Quadrat ist genau bei x = 6 null: eine einzige ausgeschlossene Stelle.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

f(x) = (3x − 12)/(x² + 2). An welcher Stelle schneidet der Graph die x-Achse?

✓ Antwort: 4
3x − 12 = 0 ergibt x = 4. Der Nenner ist dort 4² + 2 = 18, nicht null, also ist x = 4 eine Nullstelle von f.
Zahleneingabe #4 35s ▶ Testen

f(x) = (x² − x − 12)/(x² + 1). Die kleinere der beiden Nullstellen ist x = ___

✓ Antwort: -3
Zerlegt: x² − x − 12 = (x − 4)(x + 3), die Nullstellen sind 4 und −3. Der Nenner x² + 1 ist nie null. Die kleinere ist −3.
KI-bewertete Rechnung #5 300s ▶ Testen

Gegeben ist f(x) = (x² − 5x + 4)/(x² + x − 12). Zerlege Zähler und Nenner in Linearfaktoren, bestimme die maximale Definitionsmenge und alle Nullstellen von f und begründe, warum die Nullstellen des Nenners keine Nullstellen von f sind. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Zähler: x² − 5x + 4 = (x − 1)(x − 4). Nenner: x² + x − 12 = (x + 4)(x − 3). Der Nenner ist null für x = −4 und x = 3, also D = ℝ \ {−4; 3}. Der Zähler ist null für x = 1 und x = 4, beide liegen in D und der Nenner ist dort nicht null: Nullstellen von f sind 1 und 4. An den Stellen −4 und 3 ist f nicht erklärt, also gibt es dort keinen Funktionswert null.
Zähler und Nenner zerlegen ergibt (x − 1)(x − 4)/((x + 4)(x − 3)). D schließt −4 und 3 aus, die Nullstellen 1 und 4 kommen aus dem Zähler.