Welche Zeile beschreibt f(x) = (x² − 4)/(x² − x) richtig?

Erklärung: Zähler x² − 4 = (x − 2)(x + 2): Nullstellen ±2. Nenner x² − x = x(x − 1): Polstellen 0 und 1. Gleicher Grad, Leitkoeffizienten 1 und 1: y = 1. In der zweiten Zeile sind Nullstellen und Polstellen vertauscht, in der dritten fehlt der Gradvergleich.

Welcher Term gehört zum Graphen?

Erklärung: Der Graph schneidet die x-Achse bei −1 und 4 (Zähler (x + 1)(x − 4)) und hat Polstellen bei 1 und −2 (Nenner (x − 1)(x + 2)). Der zweite Term hat alle Vorzeichen vertauscht, der dritte hat die Polstelle 2 statt −2.

Die waagrechte Asymptote von f(x) = (3x² − 12)/(x² − 2x − 3) hat die Gleichung y = ___

Erklärung: Beide Grade sind 2, die Leitkoeffizienten 3 und 1: y = 3/1 = 3. (Zähler 3(x − 2)(x + 2), Nenner (x − 3)(x + 1): nichts kürzt sich.)

Wie viele Nullstellen und Polstellen hat f(x) = (x² − 9)/(x² − 4x) zusammen?

Erklärung: Zähler (x − 3)(x + 3): zwei Nullstellen, 3 und −3. Nenner x(x − 4): zwei Polstellen, 0 und 4. Es kürzt sich nichts, zusammen also 4.

Wo schneidet der Graph von f(x) = (x + 2)(x − 3)/((x − 1)(x + 3)) die y-Achse?

Erklärung: f(0) = (2 · (−3))/((−1) · 3) = −6/(−3) = 2, also (0 | 2). Mit dem Vorzeichenfehler im Nenner käme −2 heraus; (0 | −3) ist nur der Zähler-Faktor x − 3 bei 0.

Bei welchem Punkt schneidet der Graph die y-Achse?

Erklärung: Der rechte Ast schneidet die y-Achse unterhalb der x-Achse bei y = −1. Das ist f(0) für f(x) = (x − 2)/(x + 2): −2/2 = −1. (0 | 1) ist die Höhe der waagrechten Asymptote, bei x = −2 liegt die Polstelle.

Für f(x) = (2x + 6)/(x − 3) ist der y-Achsenabschnitt f(0) = ___

Erklärung: f(0) = 6/(−3) = −2. Wichtig: Der Nenner x − 3 ist bei x = 0 gleich −3, nicht 3. Der Graph schneidet die y-Achse unterhalb der x-Achse.

Wie oft schneidet der Graph von f(x) = 3/x die y-Achse?

Erklärung: x = 0 ist die Polstelle, 0 gehört nicht zur Definitionsmenge: f(0) gibt es nicht, also auch keinen Schnittpunkt mit der y-Achse. Die y-Achse ist hier die senkrechte Asymptote.

f(x) = (x − 1)/((x − 2)(x + 2)). Wie ist das Vorzeichen von f zwischen 1 und 2?

Erklärung: Testwert x = 1,5: Zähler 0,5 (positiv), x − 2 = −0,5 (negativ), x + 2 = 3,5 (positiv), also ist der Bruch negativ. Null wäre f nur bei x = 1, nicht dazwischen.

Der Graph gehört zu f(x) = 1/(x² − 4). In welchem Bereich ist f negativ?

Erklärung: Der mittlere Ast liegt unterhalb der x-Achse. Zwischen den Polstellen ist x² − 4 < 0 (zum Beispiel f(0) = −0,25), außerhalb ist es positiv. „x > 0“ ignoriert die Polstelle bei 2: Rechts davon ist f wieder positiv.

Bei f(x) = 1/(x − 1)² ist f überall, wo es definiert ist, positiv.

Erklärung: (x − 1)² ist nie negativ und nur bei x = 1 null, also ist der Nenner positiv, und 1 durch eine positive Zahl ist positiv. Bei der doppelten Polstelle x = 1 wechselt das Vorzeichen nicht.

Bei f(x) = (x − 1)(x + 4)/(x − 2)² wechselt f das Vorzeichen bei x = 1 und x = −4, aber nicht bei x = ___

Erklärung: x = 2 ist eine doppelte Polstelle (Faktor im Quadrat): Der Nenner ist beidseitig positiv, das Vorzeichen bleibt. Bei den einfachen Nullstellen 1 und −4 wechselt es.

Wie viele Vorzeichenwechsel hat f(x) = x/((x − 1)(x + 3)) auf ganz ℝ?

Erklärung: Die drei Stellen −3, 0 und 1 (Pol, Nullstelle, Pol) sind alle einfach: Bei jeder wechselt das Vorzeichen. Testwerte −5: −, −1: +, 0,5: −, 3: +.

Wie verläuft der Graph von f(x) = (x² + 1)/(x² − 4) für x → +∞ im Vergleich zur Asymptote y = 1?

Erklärung: f(x) − 1 = 5/(x² − 4) ist für große x positiv, also liegt der Graph knapp über der Asymptote. „Auf der Asymptote“ wäre nur bei f(x) − 1 = 0 möglich, und das tritt nie ein.

Welcher Term gehört zum Graphen?

Erklärung: Der Graph geht durch den Ursprung (Nullstelle 0, Zähler 2x), ist bei x = ±1 unterbrochen (Nenner (x − 1)(x + 1)) und nähert sich außen der x-Achse: drei Äste. 2/(x² − 1) hat keine Nullstelle, 2x/(x² + 1) keine Polstellen und nur einen durchgehenden Ast.

Ein Graph hat die zwei senkrechten Asymptoten x = −2 und x = 2. In wie viele Äste zerfällt er?

Erklärung: Die beiden Asymptoten teilen die x-Achse in drei Bereiche: x < −2, −2 < x < 2 und x > 2. In jedem verläuft ein Ast.

Auf welcher Höhe verläuft der Graph von f(x) = (x² − 1)/(x² − 9) bei x = 2?

Erklärung: f(2) = (4 − 1)/(4 − 9) = 3/(−5) = −0,6. Der Wert ist negativ: Zwischen der Nullstelle 1 und der Polstelle 3 verläuft der Ast unterhalb der x-Achse.

Untersuche f(x) = (2x² − 2)/(x² − 4): Gib die Definitionsmenge, die Nullstellen, die Polstellen mit den senkrechten Asymptoten, die waagrechte Asymptote und den y-Achsenabschnitt an. Bestimme die Vorzeichen in den Bereichen zwischen diesen Stellen und skizziere den Graphen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: D = ℝ \ {−2; 2}, Nullstellen ±1, senkrechte Asymptoten x = ±2, waagrechte Asymptote y = 2, f(0) = 0,5; Vorzeichen +, −, +, −, +; der Graph hat drei Äste.

Aufgabe 1 von 18