Untersuchen und skizzieren

Analysing and sketching

Mathematik Klasse 11 18 Aufgaben
AnalysisGebrochen-rationale FunktionenAsymptotenFunktionen

Eine gebrochen-rationale Funktion wird der Reihe nach untersucht: Definitionsmenge, Nullstellen, Polstellen mit senkrechten Asymptoten, Grenzverhalten für x → ±∞, y-Achsenabschnitt f(0) und Vorzeichen zwischen den ausgezeichneten Stellen. Daraus entsteht die Skizze: erst Asymptoten und Nullstellen, dann die Äste nach den Vorzeichen. Der Abschnitt räumt aus, f(0) auch dort zu berechnen, wo 0 nicht in D liegt, und Vorzeichenwechsel an geraden Polen einzutragen (Leinhardt u. a. 1990). Er bereitet den Rückweg vom Term zu den Eigenschaften und die Kurvendiskussion vor.

Der Reihe nach

Eine gebrochen-rationale Funktion untersucht man in fester Reihenfolge, am gekürzten Term. Beispiel: . Erst die Definitionsmenge: . Dann die Nullstellen des Zählers, 1 und 3, und die Polstellen −2 und 2. Die waagrechte Asymptote ist . Zuletzt der y-Achsenabschnitt , nur wenn 0 in D liegt. Keine Zahl ist zugleich Nullstelle und Polstelle, denn wo der Nenner null ist, hat f keinen Funktionswert. Diese Reihenfolge ist kein Zufall: Jede Angabe baut auf der vorherigen auf, und die Definitionsmenge steht deshalb ganz vorn.

Schiebe den Regler n von 0 bis 4: Nullstellen, Polstellen, Asymptote und y-Achsenabschnitt erscheinen nacheinander.

Vorzeichen und Skizze

Zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen oder Polstellen behält f sein Vorzeichen, an jeder einfachen wechselt es. Ein Testwert je Bereich genügt: f(0) = −0,75 ist negativ, also ist f zwischen −2 und 1 negativ, danach wechselt das Vorzeichen der Reihe nach. Für die Skizze zeichnet man zuerst Asymptoten und Nullstellen, dann in jedem Bereich einen Ast nach den Vorzeichen. Ganz rechts liegt der Graph knapp unter , ganz links knapp darüber. Die Nullstellen und der y-Achsenabschnitt liefern die Punkte, an denen die Äste die Achsen kreuzen. Für die Vorzeichen hilft eine kleine Tabelle mit den Stellen −2, 1, 2 und 3 als Trennlinien.

Verschiebe P. In welchen Bereichen ist f(x₀) positiv, in welchen negativ?

Voraussetzungen (2)

Polstelle oder Lücke
Klasse 11
›
Die waagrechte Asymptote
Klasse 11
›

Ermöglicht (1)

Term aus Eigenschaften
Klasse 11
›
Leicht
Multiple Choice #1 35s ▶ Testen

Welche Zeile beschreibt f(x) = (x² − 4)/(x² − x) richtig?

  • ● Nullstellen ±2; Polstellen 0 und 1; y = 1
  • ○ Nullstellen 0 und 1; Polstellen ±2; y = 1
  • ○ Nullstellen ±2; Polstellen 0 und 1; y = 0
Zähler x² − 4 = (x − 2)(x + 2): Nullstellen ±2. Nenner x² − x = x(x − 1): Polstellen 0 und 1. Gleicher Grad, Leitkoeffizienten 1 und 1: y = 1. In der zweiten Zeile sind Nullstellen und Polstellen vertauscht, in der dritten fehlt der Gradvergleich.
Multiple Choice #2 40s ▶ Testen

Welcher Term gehört zum Graphen?

  • ● f(x) = (x + 1)(x − 4)/((x − 1)(x + 2))
  • ○ f(x) = (x − 1)(x + 4)/((x + 1)(x − 2))
  • ○ f(x) = (x + 1)(x − 4)/((x − 1)(x − 2))
Der Graph schneidet die x-Achse bei −1 und 4 (Zähler (x + 1)(x − 4)) und hat Polstellen bei 1 und −2 (Nenner (x − 1)(x + 2)). Der zweite Term hat alle Vorzeichen vertauscht, der dritte hat die Polstelle 2 statt −2.
Multiple Choice #3 30s ▶ Testen

Wo schneidet der Graph von f(x) = (x + 2)(x − 3)/((x − 1)(x + 3)) die y-Achse?

  • ● (0 | 2)
  • ○ (0 | −2)
  • ○ (0 | −3)
f(0) = (2 · (−3))/((−1) · 3) = −6/(−3) = 2, also (0 | 2). Mit dem Vorzeichenfehler im Nenner käme −2 heraus; (0 | −3) ist nur der Zähler-Faktor x − 3 bei 0.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Bei welchem Punkt schneidet der Graph die y-Achse?

  • ● (0 | −1)
  • ○ (0 | 1)
  • ○ (0 | −2)
Der rechte Ast schneidet die y-Achse unterhalb der x-Achse bei y = −1. Das ist f(0) für f(x) = (x − 2)/(x + 2): −2/2 = −1. (0 | 1) ist die Höhe der waagrechten Asymptote, bei x = −2 liegt die Polstelle.
Multiple Choice #5 30s ▶ Testen

f(x) = (x − 1)/((x − 2)(x + 2)). Wie ist das Vorzeichen von f zwischen 1 und 2?

  • ● negativ
  • ○ positiv
  • ○ null
Testwert x = 1,5: Zähler 0,5 (positiv), x − 2 = −0,5 (negativ), x + 2 = 3,5 (positiv), also ist der Bruch negativ. Null wäre f nur bei x = 1, nicht dazwischen.
Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

Der Graph gehört zu f(x) = 1/(x² − 4). In welchem Bereich ist f negativ?

  • ● −2 < x < 2
  • ○ x < −2 und x > 2
  • ○ x > 0
Der mittlere Ast liegt unterhalb der x-Achse. Zwischen den Polstellen ist x² − 4 < 0 (zum Beispiel f(0) = −0,25), außerhalb ist es positiv. „x > 0“ ignoriert die Polstelle bei 2: Rechts davon ist f wieder positiv.
Wahr / Falsch #7 20s ▶ Testen

Bei f(x) = 1/(x − 1)² ist f überall, wo es definiert ist, positiv.

✓ Wahr
(x − 1)² ist nie negativ und nur bei x = 1 null, also ist der Nenner positiv, und 1 durch eine positive Zahl ist positiv. Bei der doppelten Polstelle x = 1 wechselt das Vorzeichen nicht.
Multiple Choice #8 30s ▶ Testen

Wie verläuft der Graph von f(x) = (x² + 1)/(x² − 4) für x → +∞ im Vergleich zur Asymptote y = 1?

  • ● oberhalb
  • ○ unterhalb
  • ○ auf der Asymptote
f(x) − 1 = 5/(x² − 4) ist für große x positiv, also liegt der Graph knapp über der Asymptote. „Auf der Asymptote“ wäre nur bei f(x) − 1 = 0 möglich, und das tritt nie ein.
Multiple Choice #9 40s ▶ Testen

Welcher Term gehört zum Graphen?

  • ● f(x) = 2x/(x² − 1)
  • ○ f(x) = 2/(x² − 1)
  • ○ f(x) = 2x/(x² + 1)
Der Graph geht durch den Ursprung (Nullstelle 0, Zähler 2x), ist bei x = ±1 unterbrochen (Nenner (x − 1)(x + 1)) und nähert sich außen der x-Achse: drei Äste. 2/(x² − 1) hat keine Nullstelle, 2x/(x² + 1) keine Polstellen und nur einen durchgehenden Ast.
Mittel
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Die waagrechte Asymptote von f(x) = (3x² − 12)/(x² − 2x − 3) hat die Gleichung y = ___

✓ Antwort: 3
Beide Grade sind 2, die Leitkoeffizienten 3 und 1: y = 3/1 = 3. (Zähler 3(x − 2)(x + 2), Nenner (x − 3)(x + 1): nichts kürzt sich.)
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Für f(x) = (2x + 6)/(x − 3) ist der y-Achsenabschnitt f(0) = ___

✓ Antwort: -2
f(0) = 6/(−3) = −2. Wichtig: Der Nenner x − 3 ist bei x = 0 gleich −3, nicht 3. Der Graph schneidet die y-Achse unterhalb der x-Achse.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Bei f(x) = (x − 1)(x + 4)/(x − 2)² wechselt f das Vorzeichen bei x = 1 und x = −4, aber nicht bei x = ___

✓ Antwort: 2
x = 2 ist eine doppelte Polstelle (Faktor im Quadrat): Der Nenner ist beidseitig positiv, das Vorzeichen bleibt. Bei den einfachen Nullstellen 1 und −4 wechselt es.
Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

Ein Graph hat die zwei senkrechten Asymptoten x = −2 und x = 2. In wie viele Äste zerfällt er?

✓ Antwort: 3
Die beiden Asymptoten teilen die x-Achse in drei Bereiche: x < −2, −2 < x < 2 und x > 2. In jedem verläuft ein Ast.
Schwer
Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Wie viele Nullstellen und Polstellen hat f(x) = (x² − 9)/(x² − 4x) zusammen?

✓ Antwort: 4
Zähler (x − 3)(x + 3): zwei Nullstellen, 3 und −3. Nenner x(x − 4): zwei Polstellen, 0 und 4. Es kürzt sich nichts, zusammen also 4.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Wie oft schneidet der Graph von f(x) = 3/x die y-Achse?

✓ Antwort: 0
x = 0 ist die Polstelle, 0 gehört nicht zur Definitionsmenge: f(0) gibt es nicht, also auch keinen Schnittpunkt mit der y-Achse. Die y-Achse ist hier die senkrechte Asymptote.
Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Wie viele Vorzeichenwechsel hat f(x) = x/((x − 1)(x + 3)) auf ganz ℝ?

✓ Antwort: 3
Die drei Stellen −3, 0 und 1 (Pol, Nullstelle, Pol) sind alle einfach: Bei jeder wechselt das Vorzeichen. Testwerte −5: −, −1: +, 0,5: −, 3: +.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Auf welcher Höhe verläuft der Graph von f(x) = (x² − 1)/(x² − 9) bei x = 2?

✓ Antwort: -0.6
f(2) = (4 − 1)/(4 − 9) = 3/(−5) = −0,6. Der Wert ist negativ: Zwischen der Nullstelle 1 und der Polstelle 3 verläuft der Ast unterhalb der x-Achse.
KI-bewertete Rechnung #5 300s ▶ Testen

Untersuche f(x) = (2x² − 2)/(x² − 4): Gib die Definitionsmenge, die Nullstellen, die Polstellen mit den senkrechten Asymptoten, die waagrechte Asymptote und den y-Achsenabschnitt an. Bestimme die Vorzeichen in den Bereichen zwischen diesen Stellen und skizziere den Graphen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Zerlegt: f(x) = 2(x − 1)(x + 1)/((x − 2)(x + 2)), nichts kürzt sich. D = ℝ \ {−2; 2}. Nullstellen: x = −1 und x = 1. Polstellen und senkrechte Asymptoten: x = −2 und x = 2. Gleicher Grad, Leitkoeffizienten 2 und 1: waagrechte Asymptote y = 2. f(0) = −2/(−4) = 0,5. Vorzeichen: x < −2 positiv, −2 < x < −1 negativ, −1 < x < 1 positiv, 1 < x < 2 negativ, x > 2 positiv. Skizze: gestrichelte Asymptoten x = ±2 und y = 2, Nullstellen ±1, Punkt (0 | 0,5); außen Äste knapp über y = 2 nach den Polen, in der Mitte ein Ast durch (0 | 0,5) mit Nullstellen bei ±1.
D = ℝ \ {−2; 2}, Nullstellen ±1, senkrechte Asymptoten x = ±2, waagrechte Asymptote y = 2, f(0) = 0,5; Vorzeichen +, −, +, −, +; der Graph hat drei Äste.